#动态规划，深搜#codevs 3904 jzoj 1948 洛谷 2258 子矩阵

题目

给定一个$n$行$m$列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个$r$行$c$列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

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分析

这道题乍一看好像会超时，实际上卡常就可以过，于是想到了动态规划，首先是全排列列的情况，行就可以自然而然地求出。
状态转移方程：$f[j][i]$表示前$j$行选择$i$行（包括第$i$行）的最小值
可得$f[j][i]=\min\{f[k][i-1]+s[j]+d[k][j]\}|i-1\leq k \leq j-1$
$s[j]表示$第$j$行选择的分值，d就是预处理两行之间各个格子的分值。

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代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define abs(x) x<0?-(x):x
using namespace std;
int n,m,r,c,a[17][17],f[17][17],s[17],d[17][17],pre[17],ans=2147483647;
int min(int a,int b){return (a<b)?a:b;}
void dfs(int dep){
    if (dep>c){
        memset(f,127/3,sizeof(f));
        for (int i=1;i<=n;i++){
            s[i]=0;
            for (int j=1;j<c;j++) 
                s[i]+=abs(a[i][pre[j]]-a[i][pre[j+1]]);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++){
            f[i][1]=s[i];
            for (int j=i+1;j<=n;j++){
                d[i][j]=0;
                for (int k=1;k<=c;k++) 
                    d[i][j]+=abs(a[i][pre[k]]-a[j][pre[k]]);
            }
        }
        for (int j=2;j<=n;j++)
        for (int i=2;i<=min(r,j);i++)
        for (int k=i-1;k<j;k++)
        f[j][i]=min(f[j][i],f[k][i-1]+s[j]+d[k][j]);
        for (int i=r;i<=n;i++) ans=min(ans,f[i][r]);
        return;
    }
    for (int i=pre[dep-1]+1;i<=m-c+dep;i++) pre[dep]=i,dfs(dep+1);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
    dfs(1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}