一，线性回归的原理
1，线性回归应用场景
- 房价预测
- 销售额度预测
- 金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子和选股
2，什么是线性回归
1）定义与公式
线性回归(Linear regression)是利用 回归方程(函数) 对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
w为权重、b称为偏置项、x为特征
2） 举例说明
- 期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
- 房子价格 = 0.02×中心区域的 距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。
3）线性回归的特征与目标的关系分析
线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。
- 线性关系
注释：如果在单特征与目标值的关系呈直线关系，或者两个特征与目标值呈现平面的关系，更高维度的我们不用自己去想，记住这种关系即可。
- 非线性关系
注释：为什么会这样的关系呢？原因是什么？我们后面 讲解过拟合欠拟合重点介绍
如果是非线性关系，那么回归方程可以理解为：w1x1+w2x22+w3x32
二，线性回归的损失（理解记忆）
1，什么是线性回归的损失
假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系
真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 +
(-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）
随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 +
0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率
请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子
那么存在这个误差，我们将这个误差给衡量出来
2，损失函数
总损失定义为：
- y_i为第i个训练样本的真实值
- h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 又称最小二乘法
如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！
三，线性回归的优化算法原理
如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）
线性回归经常使用的两种优化算法
1，正规方程
- 正规方程
理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果
2，梯度下降
- 梯度下降(Gradient Descent)
理解：α为学习速率，需要手动指定（超参数），α旁边的整体表示方向 沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新W值。
使用：面对训练数据规模十分庞大的任务 ，能够找到较好的结果。
我们通过两个图更好理解梯度下降的过程
所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力
四， 线性回归API
-
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
- 通过正规方程优化
- fit_intercept：是否计算偏置
return:
- LinearRegression.coef_：回归系数
- LinearRegression.intercept_：偏置
-
sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=“squared_loss”, fit_intercept=True, learning_rate =‘invscaling’, eta0=0.01)
-
通过使用SGD优化
-
loss:损失类型 *
-
fit_intercept：是否计算偏置
-
learning_rate : string, optional
- 学习率填充
- ‘constant’: eta = eta0
- ‘optimal’: eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default]
- ‘invscaling’: eta = eta0 / pow(t, power_t)
- power_t=0.25:存在父类当中
return:
-
-
SGDRegressor.coef_：回归系数
-
SGDRegressor.intercept_：偏置
sklearn提供给我们两种实现的API， 可以根据选择使用
五，波士顿房价预测
- 数据介绍
给定的这些特征，是专家们得出的影响房价的结果属性。我们此阶段不需要自己去探究特征是否有用，只需要使用这些特征。到后面量化很多特征需要我们自己去寻找
1，分析
回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。
- 数据分割与标准化处理
- 回归预测
- 线性回归的算法效果评估
2，回归性能评估
均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：
注：y^i为预测值，¯y为真实值
- sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
- 均方误差回归损失
- y_true:真实值
- y_pred:预测值
- return:浮点数结果
3，代码
def mylinearregression():
"""
线性回归预测房子价格
:return:
"""
lb = load_boston()
#
# print(lb.data)
#
# print(lb.target)
# 对数据集进行划分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.3, random_state=24)
# 需要做标准化处理对于特征值处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.fit_transform(x_test)
# print(x_train)
# 对于目标值进行标准化
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train)
y_test = std_y.transform(y_test)
# print(y_train)
# y_test = std_y.inverse_transform(y_train)
# print(y)
y_test = std_y.inverse_transform(y_test)
# 使用线性模型进行预测
# 使用正规方程求解
lr = LinearRegression()
# # 此时在干什么？
lr.fit(x_train, y_train)
y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
print(lr.coef_)
print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)
print("正规方程的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_lr_predict))
# 梯度下降进行预测
sgd = SGDRegressor()
#
sgd.fit(x_train, y_train)
print("SGD的权重参数为：", sgd.coef_)
#
y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
#
print("SGD的预测的结果为：", y_sgd_predict)
#
# # 怎么评判这两个哪个好？
print("SGD的均方误差为：", mean_squared_error(y_test, y_sgd_predict))
return None
from sklearn.linear_model import LinearRegression,SGDRegressor
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error
def mylinearregression():
"""线性回归预测房子价格"""
lb = load_boston()
# print(lb.data)
# print(lb.target)
# # 对数据集进行划分
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.3, random_state=24)
# 需要做标准化处理对于特征值处理
std = StandardScaler()
# 需要做标准化处理对于特征值处理
x_train = std.fit_transform(x_train)
x_test = std.fit_transform(x_test)
# 1,使用线性模型进行预测 ---正规方程求解
lr = LinearRegression(fit_intercept=True)
# fit之后已经得出参数结果
lr.fit(x_train, y_train)
print("正规方程计算出的权重：",lr.coef_)
print("正规方程计算出的偏置：", lr.intercept_)
# 使用predict来预测测试集结果
y_lr_predict = lr.predict(x_test)
print("正规方程预测的结果为：", y_lr_predict)
# 调用均方误差去评估LinearRegression的结果误差如何
error = mean_squared_error(y_test,y_lr_predict)
print("正规方程的均方误差为：", error)
# 2,使用线性模型进行预测 ---梯度下降进行预测
# sgd = SGDRegressor(loss="squared_loss",fit_intercept=True,learning_rate="invscaling")
sgd = SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate="constant", eta0=0.001)
# 使用fit训练梯度下降模型
sgd.fit(x_train, y_train)
print("梯度下降计算出的权重：",sgd.coef_)
print("梯度下降计算出的偏置：", sgd.intercept_)
# 使用predict来预测测试集结果
y_sgd_predict = sgd.predict(x_test)
print("梯度下降预测的结果为：", y_sgd_predict)
# 调用均方误差去评估SGDRegressor的结果误差如何
sgd_error = mean_squared_error(y_test,y_sgd_predict)
print("梯度下降的均方误差为：", sgd_error)
return None
if __name__ == "__main__":
mylinearregression()
当我们尝试去修改学习率的时候
sgd = SGDRegressor(learning_rate='constant', eta0=0.5)
可以看到效果会更好，此时我们可以通过调参数，找到学习率效果更好的值。
这里的案例数据比较简单，所以效果非常不错。可以在数据量、特征复杂的数据中进行测试
六，正规方程和梯度下降对比
- 文字对比
| 梯度下降 | 正规方程 |
|---|---|
| 需要选择学习率 | 不需要 |
| 需要迭代求解 | 一次运算得出 |
| 特征数量较大可以使用 | 需要计算方程，时间复杂度高O(n3) |
- 选择：
- 小规模数据：
- LinearRegression(不能解决拟合问题)
- 岭回归
- 大规模数据：SGDRegressor
- 小规模数据：
七，关于优化方法GD、SGD、SAG
1，GD
梯度下降（Gradient Desecent）,原始的地图下降法需要计算所有样本的值才能得出梯度，计算量大，所以后面才会有一些列的改进。
2，SGD
随机梯度下降（Stochastic gradient descent）是一个优化方法。他在一次迭代时只考虑一个训练样本。
- SGD的优点是：
- 高效
- 容易实现
- SGD的缺点是：
- SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
- SGD对于特征标准化是敏感的。
3，SAG
随机平均梯度法（Stochasitc Average Gradient）,由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法。
Scikit-learn:SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都有SAG优化
八，总结
- 线性回归的损失函数-均方误差
- 线性回归的优化方法
- 正规方程
- 梯度下降
- 线性回归的性能衡量方法-均方误差
- sklearn的SGDRegressor API 参数