1.2.1最长上升子序列模型（一）

1.最长上升子序列

给定一个长度为 $N$ 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。

第二行包含 N个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
$1 \leq N \leq 1000 ，$
$10^{9}≤数列中的数≤10^{9}$

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

题解
在这里插入图片描述
代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N];//序列
int f[N];//状态

int main()
{
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n;i++)
    {
    
    
        f[i] = 1;//只有i一个数a[i]
        for(int j = 1;j < i;j++)
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
    }
    
    int res = 0;
    //枚举所有终点
    for(int i = 1; i <= n;i++) res = max(res,f[i]);
    
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}

2.怪盗基德的滑翔翼

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式
输入数据第一行是一个整数 $K$ ,代表有 $K$ 组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数 $N$ ，代表有N幢建筑。第二行包含 $N$ 个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围
$1 \leq K \leq 100,$
$1 \leq N \leq 100,$
$0 < h < 10000$

输入样例：

3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例：

6
6
9

题解
在这里插入图片描述
代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int a[N],f[N];

int main()
{
    
    
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
    
    
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1;i <= n;i++)   scanf("%d",&a[i]);
        
        //正向求解LTS问题
        int res = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
    
    
            f[i] = 1;
            for(int j = 1;j < i;j++)
                if(a[i] > a[j])
                    f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
            res = max(res,f[i]);
        }
        
        //反向求解LTS问题
        for(int i = n;i;i--)
        {
    
    
            f[i] = 1;
            for(int j = n;j > i;j--)
                if(a[i] > a[j])
                    f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
            res = max(res,f[i]);
        }
        
        printf("%d\n",res);
    }
    
    return 0;
}

3.登山

五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

输入格式
第一行包含整数 $N$ ，表示景点数量。

第二行包含 $N$ 个整数，表示每个景点的海拔。

输出格式
输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。

数据范围
$2 \leq N \leq 1000$
输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

题解
在这里插入图片描述
登山是将左右两边相加，而怪盗基德的滑翔翼是求左右两边的最大值。
代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N];
int f[N],g[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    
    //从左到右求f
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
    
    
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;j++)
            if(a[i] > a[j])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
    }
    //从右到左求g
    for(int i = n;i;i--)
    {
    
    
        g[i] = 1;
        for(int j = n;j > i;j--)
            if(a[i] > a[j])
                g[i] = max(g[i],g[j] + 1);
    }
    
    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)   res = max(res,f[i] + g[i] - 1);
    
    printf("%d\n",res);
    
    return 0;
}

4.合唱队形

$N$ 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 $(N - K)$ 位同学出列，使得剩下的 $K$ 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 $K$ 位同学从左到右依次编号为 $1 ， 2 \dots ， K$ ，他们的身高分别为 $T_{1}，T_{2}，…，{T}_{K}$ ，则他们的身高满足 $T_{1}<…<T_{i}>T_{i+1}>…>T_{K}(1≤i≤K)$ 。

你的任务是，已知所有 $N$ 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式
输入的第一行是一个整数 $N$ ，表示同学的总数。

第二行有 $N$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $T_{i}$ 是第 $i$ 位同学的身高(厘米)。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

数据范围
$2 \leq N \leq 100,$
$130≤T_{i}≤230$
输入样例：

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出样例：

题解
与登山类似，只是修改代码的输出
代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int a[N];
int f[N],g[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    
    //从左到右求f
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
    
    
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;j++)
            if(a[i] > a[j])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
    }
    //从右到左求g
    for(int i = n;i;i--)
    {
    
    
        g[i] = 1;
        for(int j = n;j > i;j--)
            if(a[i] > a[j])
                g[i] = max(g[i],g[j] + 1);
    }
    
    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)   res = max(res,f[i] + g[i] - 1);
    
    printf("%d\n",n - res);
    
    return 0;
}

5.友好城市

Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的 $N$ 个城市。

北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。

编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

输入格式
第 $1$ 行，一个整数 $N$ ，表示城市数。

第 $2$ 行到第 $n + 1$ 行，每行两个整数，中间用 $1$ 个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。

输出格式
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

数据范围
$1 \leq N \leq 5000,$
$0≤x_{i}≤10000$
输入样例：

输出样例：

题解

在这里插入图片描述
步骤

1、通过排序，固定自变量的顺序

2、找因变量的最大上升子序列

在这里插入图片描述
因为航道交叉就是

city1.first < city2.first, 但是city1.second > city2.second

所以将一岸排序，另一个岸寻找最长上升子序列

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
const int N = 5010;

int n;
PII q[N];
int f[N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < n;i++)    scanf("%d%d",&q[i].first,&q[i].second);
    sort(q,q + n);
    
    int res = 0;
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
    
    
        f[i] = 1;
        for(int j = 0;j < i;j++)
            if(q[i].second > q[j].second)
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
                
        res = max(res,f[i]);
    }
    
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}

6.最大上升子序列和

个数的序列 $b_{i}$ ，当 $b_{1}<b_{2}<…<b_{S}$ 的时候，我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列 $a_{1},a_{2},…,a_{N})$ ，我们可以得到一些上升的子序列 $a_{i1},a_{i2},…,a_{iK})$ ，这里 $1≤i_{1}<i_{2}<…<i_{K}≤N$ 。

比如，对于序列 $(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)$ ，有它的一些上升子序列，如 $(1, 7)$ , $(3, 4, 8)$ 等等。

这些子序列中和最大为 $18$ ，为子序列 $(1, 3, 5, 9)$ 的和。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。

注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列 $(100, 1, 2, 3)$ 的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为 $(1, 2, 3)$ 。

输入格式
输入的第一行是序列的长度 $N$ 。

第二行给出序列中的 $N$ 个整数，这些整数的取值范围都在 $0$ 到 $10000$ (可能重复)。

输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。

数据范围
$1 \leq N \leq 1000$
输入样例：

7
1 7 3 5 9 4 8

输出样例：

题解
在这里插入图片描述
与最长上升子序列的区别是，将+1改为了+a[i]

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int a[N];//序列
int f[N];//状态

int main()
{
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n;i++)  scanf("%d",&a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n;i++)
    {
    
    
        f[i] = a[i];//只有i一个数a[i]
        for(int j = 1;j < i;j++)
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i],f[j] + a[i]);
    }
    
    int res = 0;
    //枚举所有终点
    for(int i = 1; i <= n;i++) res = max(res,f[i]);
    
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}