【SSL_1045】2005年分区联赛普级组之三 采药

2005年分区联赛普级组之三 采药

题目

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，
采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。
我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。
如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

Input

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

Output

输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

Sample Input

70 3
71 100
69 1
1 2

Sample Output

3

Hint

对于30%的数据，M <= 10；

对于全部的数据，M <= 100。

解题思路

这是一道典型的01背包问题。每一株植物只有被选或不被选的命运。
两重循环，第一重i枚举n种草药，第二重j枚举时间，
f[i][j]表示当时间为j时，采前i株草药能获得的最大价值。
f[i][j]最大价值为不采这棵草与采这棵草能获得的最大价值。
j>=a[i]， f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i])
j<a[i] ， f[i][j]=f[i-1][j]
1<=i<=n, v>=j>=1

代码

#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n,a[1001],s,ans,f[101][1001],v,b[1001];
void dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=v;j>=1;j--){
			if(j>=a[i]){
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i]);//max(不采,采)
			}else{
				f[i][j]=f[i-1][j];
			}ans=max(ans,f[i][j]);//记录最大价值
		}
	}
}
void in(){
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
	}
}
int main(){
	in();
	dp();
	cout<<ans;
}

此题还能再优化，将二维数组改成一维数组。
因为动态规划只需使用f[i]和f[i-1],所以可用滚动数组保存。

代码

#include<cstdio>
#include<cmath> 
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n,a[10000],s,ans,f[2000001],v,b[1000];
void dp(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=v;j>=1;j--){
			if(j>=a[i]){
				f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);
			}ans=max(ans,f[j]);
		}
	}
}
void in(){
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
	}
}
int main(){
	in();
	dp();
	cout<<ans;
}