二维前缀和（矩形割补法）——杨子曰算法
今天曰一个很实用的技巧，二维前缀和
来,先问一个问题，如果我给出一个矩阵，让你求出任意一个子矩阵的和，你会怎么搞？
哦，简单简单，O（n^2）咔咔地暴力一下，欧了
要是真这么简单，我会问你吗？我们追求的是速度，做到O（n^2）读入后，O(1)搞定。
好的，你先要知道一个东西叫做前缀和，就是让你算出一个序列中子序列的和，
方法就是用f[i]存序列1~i的和，那么询问x，y，答案就是f[y]-f[x-1]
如果你已经知道了这个，我们就来讨论二维的情况吧
杨子曰：题目的思想是可以转移的，So在二维情况是我们同样用一个数组f[i][j]表示a[1,1]为左上角a[i][j]为左下角的子矩阵的和，如图
f[3][4]就是表示绿色部分的和
知道了这个以后，我们就开始来看一看一个任意的以（x1,y1）为左上角，（x2,y2）为右下角的子矩阵怎么求：
首先这个矩阵的和肯定包括在f[x2][y2]中，但是多了一些东西，所以我们要把蓝的，黄的，绿的部分减去，首先看如何减去蓝的，用最粗暴的方法，直接减掉f[x1-1,y2],好现在只要减掉一个绿色部分就行了，依然用简单粗暴的办法，减掉f[x2][y1-1]
噢，有人举起了手，可是黄色部分被减了两遍呀，不要紧张，加回去就得了呗，
So，杨子曰：子矩阵的和就等于f[x2][y2]-f[x1-1][y2]-f[x2][y1-1]+f[x1-1][y1-1]
这样我们，就做到了O(1)取到子矩阵的和
OK,完事
呵呵，代码才打了一个开头就打不下去了对吧，f[i][j]怎么预处理啊啊啊啊！
其实也是比较简单的，look at the图：
你要算出黄绿蓝，三个部分的和，你要知道，当你再算f[i][j]的时候已经算好了f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1]
所以先用f[i-1][j]+f[i][j-1],NO,黄色部分被夹了两边呀，额，一样的套路，减掉不就欧了吗，
So，杨子曰：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i][j]
这回是真的
OK，完事
于TJQ高层小区902
未经作者允许，严禁转载：https://blog.csdn.net/henryyang2018/article/details/79734675