GS 算法进行一维和二维信号的相位恢复

简介

Gerchberg-Saxton 算法可通过测量两个变换关系已知的信号的强度恢复出其相位，设原信号为$u$, 其傅里叶变换为$U=FT[u]$，测得其强度为$I=|u{|}^2$，功率谱为$P=|U{|}^2$，据此恢复出$u=|u|e^{j\varphi }$的相位，步骤如下

1. 初始相位设为0，$u^{\prime }=\sqrt{I}$
2. 计算$FT[u^{\prime }]$的相位${\theta }^{\prime }$，令$U^{\prime }=|U|e^{j{\theta }^{\prime }}$
3. 计算$F{T}^{-1}[U^{\prime }]$的相位${\varphi }^{\prime }$，令$u^{\prime }=|u|e^{j{\varphi }^{\prime }}$
4. 回到步骤2，直至达到最大步数

一维信号

设高斯波包$u(x)=e^{-x^2/2R^2}{e}^{j2\pi x/\lambda }$，其中$x\in [-4,4],R=1,\lambda =3$，图像如下：

复原时，初始相位设为0，故实部为高斯函数而虚部为0：
使用GS算法进行相位恢复后：
迭代过程中误差$ϵ=mean(|u^{\prime }-u|)$如下:

二维信号

设$u(x,y)=peaks(x,y)e^{j2\pi r/k},r=\sqrt{x^2+y^2}$，其中peaks 为MATLAB 中的函数，$x,y\in [-4,4]$，$R=1,\lambda =4$, 图像如下：
初始相位设为0：
使用GS算法进行相位恢复后：

MATLAB代码

R=1;
lambda=4;
x=-4:.1:4;
N=length(x);
[X,Y]=meshgrid(x,x);
r=sqrt(X.^2+Y.^2);
r_2=sqrt((X-1).^2+(Y-2).^2);
%u=exp(-1/(2*R^2)*r.^2).*exp(1i*2*pi/lambda*r);
u=peaks(X,Y).*exp(1i*2*pi/lambda*r);
figure(1)
subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,real(u))
title('Re[u]')
subplot(2,1,2)
mesh(X,Y,imag(u))
title('Im[u]')


u_ft=fft2(u);
figure(2)
fx=1/(N*0.1)*((1:N)-N/2);
[Fx,Fy]=meshgrid(fx,fx);
mesh(Fx,Fy,abs(fftshift(u_ft)))

u_abs=abs(u);
U_abs=abs(u_ft);
N_max=1000;

u_k=u_abs;

figure(3)
subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,real(u_k))
subplot(2,1,2)
mesh(X,Y,imag(u_k))

error=zeros(1,N_max);
for k=1:N_max
   phi_1=angle(fft2(u_k));
   U_k=U_abs.*exp(1i*phi_1);
   phi_2=angle(ifft2(U_k));
   u_k=u_abs.*exp(1i*phi_2);
   u_out=exp(-1i*angle(u_k(floor(N/2),floor(N/2))))*u_k;
   error(k)=mean(mean(abs(u_out-u)));
end

figure(4)
subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,real(u_out))
subplot(2,1,2)
mesh(X,Y,imag(u_out))

figure(5)
plot(1:N_max,error)