浅谈三分算法

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前置知识：

二分，函数（数学领域）。

二分

首先二分的能解决的，仅仅是 单调函数 求极值。什么叫做单调函数？即 $y$ 随 $x$ 单调不减 或 单调不增 均可用二分解决。如图：

上图是函数 $y=\frac{2}{3} x$，显然可以用二分在函数上进行解决问题。

实际上二分的解决领域仅仅是 $y=kx$ 类型的函数，二次及以上都不行了，反比例函数也不行了。

三分

辟谣

请不要以为我在开玩笑！确实有这样一个算法。

很多初学者会这样认为：

二分就是在 $[l,r]$ 找到中点 $\text{mid} = \lfloor \frac{l+r}{2} \rfloor$，把搜索范围每次减小一半。
三分就是在 $[l,r]$ 找到三等分点 $\text{m1} = \lfloor \frac{l+r}{3} \rfloor , \text{m2} = \lfloor \frac{2(l+r)}{3} \rfloor$，把搜索范围每次变为 $\frac{1}{3}$。
时间复杂度都是 $\log$ 级别的（只不过 $\log_2$ 和 $\log_3$），没有什么意义。
按照这个方法，我可以写出 $k$ 分，写出 $\log_k$，不过复杂度还是 $\log$，都一样的，好难写！

三分不是你所谓的三分，它有一定的字面意思，但绝对不是这个意思！

二分和三分

首先我们来看一个函数：

如图为 $y = x^2 + x - 1$ 的二次函数，取名为 $g$.

一个问题： $x \in [-5 , 5]$ 时 $y$ 的最小值为？（经典的单谷函数求最小值题）

假设我们二分，看是否能得到结果？能算下去吗？

第一步， $l=-5 , r = 5 , \text{mid} = 0$，则 $g(\text{mid}) = -1$.

此时你怎么操作呢？是 $l \gets \text{mid}$ 还是 $r \gets \text{mid}$ 呢？

你不知道你取到的中点是在答案左边还是在答案右边，这样你肯定求不出来了。

所以，这时，我们要开始了解三分了！

三分的实现

对于 $[l,r]$，首先找到 $m1$ 和 $m2$（两个三等分点），把 $g(m1)$ 和 $g(m2)$ 进行比较。

当求的是最小值时： $g(m1) < g(m2)$，则 $r=m2$；否则 $l=m1$.

当求的是最大值时： $g(m1) > g(m2)$，则 $r=m2$；否则 $l=m1$.

如何理解呢？总之就是 离答案越近的就保留，离答案相对远的则作为下一次三分的端点。

还是那个题目：

求 $y = x^2 + x -1$， $x \in [-5,5]$ 时的 $\min(y)$.

手算一下：

$y = x^2 + x - 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4}$

可得 $x = - \frac{1}{2}$ 时 $y$ 取到最小值为 $- \frac{5}{4}$.

这个结果将用于检验我们的三分过程。（这里三分保留 $2$ 位小数方便手算）

第一步 $m1 = -1.67 , m2 = 1.67$，你发现 $m1$ 更接近，于是 $l = -5 , r = 1.67$.

第二步 $m1 = -2.77 , m2 = -0.55$，你发现 $m2$ 更接近，于是 $l = -2.77 , r = 1.67$.

第三步 $m1 = -1.29 , m2 = 0.19$，你发现 $\cdots \cdots$

贴一下程序计算的结果：（每次输出 $l,r$ 的值）

/*
程序保留了 11 位小数的精度，本题只需要 6 位精度
-5 5
-5 1.66667
-2.77778 1.66667
-1.2963 1.66667
-1.2963 0.679012
-1.2963 0.0205761
-0.857339 0.0205761
-0.857339 -0.272062
-0.662247 -0.272062
-0.662247 -0.402124
-0.575539 -0.402124
-0.575539 -0.459929
-0.537002 -0.459929
-0.537002 -0.48562
-0.519875 -0.48562
-0.508456 -0.48562
-0.508456 -0.493232
-0.503382 -0.493232
-0.503382 -0.496615
-0.503382 -0.498871
-0.501878 -0.498871
-0.500876 -0.498871
-0.500876 -0.499539
-0.50043 -0.499539
-0.50043 -0.499836
-0.500232 -0.499836
-0.5001 -0.499836
-0.5001 -0.499924
-0.500041 -0.499924
-0.500041 -0.499963
-0.500015 -0.499963
-0.500015 -0.499981
-0.500015 -0.499992
-0.500008 -0.499992
-0.500008 -0.499997
-0.500004 -0.499997
-0.500002 -0.499997
-0.500002 -0.499999
-0.500001 -0.499999
-0.500001 -0.5
-0.5 -0.5
*/

最后得到 $x = - \frac{1}{2}$ 为最小值，计算即可。

是不是很妙？

代码实现

这里有一些细节。

你不能直接写 l = r，那样你肯定会因为奇怪的精度问题而陷入死循环。

所以，我们应当设置一个极小的常数为 $s$， $l+s \geq r$ 即认为 $l=r$，可以用 $s$ 的精度来调整三分的精度。 本题 $s = 10^{-11}$ 已足够。当然只要在计算机能承受的精度之内 就没有问题（最多 $10^{-14}$ ~ $10^{-16}$）了。

关于设置极小值的问题，越小越好，只要不超过计算机能承受的范围（不是指 $\text{string}$ 的范围啊）即可，一般 -0x7fffffff 是简单粗暴的操作。当然 -1e16 也是可以的。总之不要因为最小值耽误了整个程序的正误啊！

最后贴一个模板（伪代码）：

while(l + (1e-11) < r) { //这里写的是单谷函数求最小值
	lmid = l + (r-l) / 3;
	rmid = r - (r-l) / 3;
	if(calc(lmid) <= calc(rmid)) r = rmid;
	else l = lmid;
}
/* */
while(l + (1e-11) < r) { //这里写的是单峰函数求最大值
	lmid = l + (r-l) / 3;
	rmid = r - (r-l) / 3;
	if(calc(lmid) >= calc(rmid)) r = rmid;
	else l = lmid;
}

掌握了模板，可以去写一些板子题啦！

课后习题

LOJ #10013. 「一本通 1.2 例 3」曲线