三分法
$Daily English
神话是大众的梦想,梦想是一个人的神话。
Myths are public dreams,dreams are private myths.
知识点:
- 三分法
- 秦九昭算法
- 三分法模板
0x00 题目:
洛谷p3382:
https://www.luogu.com.cn/problem/P3382
0x01 三分法
问题:值序列构成的图像具有凸性或凹性时 求解最值
解释:
在[l,r]区间中找一个值x,使得f(x) = max。可以用三分法来求解这个x。
基本思想是:将[l,r]区间分成三段不断逼近。区间分成三段所以需要确定两个点。
这两点我们习惯性把它们命名为:lmid,rmid。
这两点的值很好确定:
左边(lmid): l + 区间长度的1/3
右边(rmid): r - 区间长度的1/3
tmp = (r - l) / 3.0;
lmid = l + tmp;
rmid = r - tmp;
如果f(lmid) < f(rmid):
那么lmid之前部分对求解的x没有影响,
所以此时可以更新:
l = lmid。
否则,更新:r = rmid。
如果理解不了,自己画一个图好好体会。
如果凸性或凹性图像的方程是一个N次多项式,就要结合秦九昭算法来求解f(x)。即三分过程中,f(lmid) , f(rmid)具体的值要使用秦九昭算法来求解
0x02 秦九昭算法:
问题:求解N次多项式f(x)的值
原理:
0x03 解题代码:
#洛谷p3382 # Ac_code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
const int N = 15;
double a[N];
int n;
double l,r;
//秦九昭算法:求解N次多项式f(x)的值
double check(double x)
{
double res = a[n];
for(int i = n-1; i >= 0; i--)
{
res = res * x + a[i];
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%lf%lf",&n,&l,&r);
for(int i = n; i >= 0; i--)
{
scanf("%lf",&a[i]);
}
//三分法:值序列构成的图像具有凸性或凹性时求最值
while(r-l > eps)
{
double tmp = (r - l) / 3.0;
double lmid = l + tmp;
double rmid = r - tmp;
if(check(lmid) < check(rmid))
{
l = lmid;
}
else
{
r = rmid;
}
}
printf("%.5lf\n",l);
return 0;
}