二分搜索一般用于寻找正好满足某种条件的临界值，要求搜索区间满足单调性，而三分搜索一般是在凸函数或者凹函数上寻找极值。
原理
假设函数图像在区间[lo,hi]是开口向上的曲线，那么区间内必有极大值，取三分点m1和m2，若f(m1)>f(m2)，那么极大值位于[lo,m2]内，排除区间[m2,hi]；反之极大值区于[m1,hi]内，可排除[lo,m1]，时间复杂度为O(logn)。
实例
B君的圆锥
题面：已知圆锥的表面积为S，求它的体积V的最大值。
分析：设圆锥半径为r，由于表面积S固定，直观上看，当r很小时圆锥虽然高，但太瘦，导致体积小；当r很大时圆锥胖，但太矮，体积也不大；应取合适的r值，使宽度和高度平衡，方能取到最大体积。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
int s;
double getl(double r) {
return (s - pi * r * r) / pi / r;
}
double geth(double r) {
double l = getl(r);
return sqrt(l * l - r * r);
}
double vol(double r) {
double h = geth(r);
return pi * r * r * h / 3;
}
int main() {
cin >> s;
double lo = 0, hi = sqrt(s/2/pi);
while (hi - lo > 1e-6) {
double m1 = lo + (hi - lo) / 3;
double m2 = lo + (hi - lo) / 3 * 2;
double v1 = vol(m1), v2 = vol(m2);
if (v1 > v2)
hi = m2;
else
lo = m1;
}
printf("%.6f\n", vol(lo));
return 0;
}
奶牛的聚会
题面：在x轴上有n个点，给定第i个点的坐标x[i]和权值w[i]，需要在x轴上选一点d，使得sum(w[i]*|d-x[i]|^3)最小，求该最小值。
分析： d过于偏左或者偏右都会导致结果太大，应该在中间某处取，使得左右两边的带权距离平衡，以获得最小值。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, T;
double x[50005], w[50005];
double f(double d) {
double ret = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
double u = fabs(d - x[i]);
ret += u * u * u * w[i];
}
return ret;
}
int main() {
cin >> T;
for (int z = 1; z <= T; z++) {
double lo = 1e6, hi = -1e6, ans = 9e18;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> x[i] >> w[i];
lo = min(lo, x[i]);
hi = max(hi, x[i]);
}
if (n == 1) {
ans = 0;
} else {
while (hi - lo > 1e-6) {
double m1 = lo + (hi - lo) / 3;
double m2 = lo + (hi - lo) / 3 * 2;
double v1 = f(m1), v2 = f(m2);
if (v1 < v2)
hi = m2, ans = v1;
else
lo = m1, ans = v2;
}
}
printf("Case #%d: %d\n", z, int(ans + 0.5));
}
return 0;
}
在整数内搜索
上面两个例子都是在实数范围内做三分搜索，当搜索区间长度小于指定精度时则停止。
如果要求取值必须为整数，三分搜索同样可以工作，区别在于循环终止时的处理：当lo+2等于hi时停止搜索，此时m1=m2，且lo,m1,hi是三个相邻的整数，分别计算函数在这三个点的取值，取三者的极值即可。
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