Codeforces Round #632 (Div. 2) Ｄ. Dreamoon Likes Sequences （思维 + 乘法原理）

思维+乘法原理

题意：

给出一个上限 $d$,和一个模数 $m$，计算符合下列条件的数列 $a$的个数:

1. 数列 $a$的长度大于等于 $1$。
2. 数列 $a$的最小值大于等于 $1$，最大值小于等于 $d$，且是严格单调递增的。
3. 对于 $a$用如下方式构造一个数列 $b$， 要求构造的数列 $b$是严格单调递增的。
   $b_1 = a_1$
   $b_i = b_{i -1} \bigoplus a_i (i \geq 1)$

题解：

参考官方题解：
首先定义一个函数 $h(a_i)$，表示 $a_i$的二进制表示中数位为1的最高位是哪一位。比如 $h(10) = 3$。由a是严格单调递增的条件我们可以知道， $h(a_{i+1}) >= h(a_i)$。
然后我们利用b是严格单调递增的条件， $b_2 = a_1 \bigoplus a_2, b_2 > b_1$。可以知道 $h(a_{2}) > h(a_1)$,如果 $h(a_{2}) = h(a_1)$的话，那么异或之后这个最高位将会变成0，导致 $b_2 < b_1$。
同时我们也可以得出 $h(b_2) = h(a_2)$。依次类推就可以得出 $h(b_i) = h(a_i), h(a_{i+1}) > h(a_i)$。

每一个 $h(a_i)$都是不同的，且是严格递增的。那么在符合条件的数列中，只有一个 $a_i$或者没有 $a_i$满足 $h(a_i) = v$。也就是只有一个或者没有 $a_i$属于 $[2^v, min(2^{v +1} - 1, d)]$。只要从每一个数段中选出一个数，或者不选，这样组成的数列从小到大排序都是合法的。每一段有 $min(2^{v+1} - 1, d) - 2^v+2$个选择。根据乘法原理就可求出总数，最后要减去每一个都不选形成的数列。

代码：

/**
* Author : Xiuchen
* Date : 2020-04-07-12.02.25
* Description : 乘法原理
*/
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
//const int maxn = ;
int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int t;
ll d, m;
int main(){
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> d >> m;
        ll ans = 1 % m;
        for(int i = 0; i <= 31; i++){
            ll tmp = 1 << i;
            if(tmp > d) break;
            ll num = min((1ll << (i + 1)) - 1, d) - tmp + 2;
            ans = ans * num % m;
        }
        cout << (ans - 1 + m) % m << endl;
    }
    return 0;
}