Codeforces Round #670 (Div. 2) D. Three Sequences（差分序列、数学思维分析）

D. Three Sequences

D. Three Sequences
题意：给定一个长度为$n$的序列$a[]$，要求把他分成两个序列$b[],c[]$

1. $a[i]=b[i]+c[i]$
2. $b[]$是一个非递减序列
3. $c[]$是一个非递增序列
4. $max(b_i,c_i)$尽可能小

之后有$q(1e5)$次对于$a[]$的修改，给定$l,r,x$:对$[l,r]$范围内的$a_i$都增加$x$
要求给出整个序列中的$max(max(b_i,c_i))$

思路：看见$q$次修改，想到差分序列，但是这题在想到用差分时候还是差了一点，手推一下感觉好像还要处理每次之前的最大值，用线段树或者树状数组记录修改。其实不仅仅对于数列$a[]$需要进行差分，还要对于$b[]、c[]$进行差分分析

• 由于 $b[]$是一个非递减序列。$c[]$是一个非递增序列，那么对于$b[]$的差分数列而言，每个都大于0；对于$c[]$的每个差分数列而言，每个都小于0。
• 由递增以及递减关系，可以把题目所求答案的$max(max(b_i,c_i))$变成$max(b_n,c_1)$
• 问题就转换成了把$a[]的差分数列da[]$拆分成一个正数（或0）和一个负数（或0），下面就是需要拆分的策略了。
• 对于题里面给定的样例推理一下就可以发现：
  • 如果目前的$d{a}_i$为正数，就直接全给$b_i$，而$c_i$则加上$0$。 因为如果变成一个正数$K$和负数$k$,那么$K>d{a}_i$一定成立，这就会造成$b_n$的增大。
  • 同理，如果目前的$d{a}_i$为负数，就直接全给$c_i$，而$b_i$则加上$0$。 因为如果变成一个正数$K$和负数$k$,那么$k<d{a}_i$一定成立，这就会造成$c_1$的增大。
• 经过上述的两个操作我已经能够保证$b[],c[]$的增减性了。现在就相当于已经知道了初值分别是$b_1,c_1(在这里我设b_i为x)$的函数（雾？）。那么现在我只要合理分配初始值，就能使得$max(b_n,c_1)$最小化。因为这里的$c_1=a_1-x$是一个已知值。我要求的就是$b_n=x+{\sum }_{i=2}^{n}max(0,d{a}_i)$
• 这里把他们均分当然就是最小的时候，即$x+{\sum }_{i=2}^{n}max(0,d{a}_i)=a_1-x$，在下面的代码中我把${\sum }_{i=2}^{n}max(0,d{a}_i)$用$maxx$表示

接下来留给我的就是对于差分序列的维护，因为其实每次只修改了$a_l,a_{r+1}$两个值，所以只要修改前判断是否大于0，减去大于0的，修改后判断是否大于零再加上就好了。
尤其注意1和n的位置！！！这里的差分序列不作数^^（wa4）

LL a[maxn], da[maxn];//差分序列，L-R +1 a[l]+1,a[r+1]-1
LL n, q, xx, ans;
int main()
{
    
    
	cin >> n;
	LL maxx = 0;
	da[1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		cin >> a[i];
		if (i != 1)da[i] = a[i] - a[i - 1];
		if (da[i] > 0) {
    
    
			maxx += da[i];
		}
	}
	xx = (a[1] - maxx) / 2;
	ans = max(a[1] - xx, xx + maxx);
	cout << ans << endl;
	cin >> q;
	LL l, r, x;
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
    
    
		cin >> l >> r >> x;
		if (l != 1 && da[l] > 0)maxx -= da[l];
		if (r != n && da[r + 1] > 0)maxx -= da[r + 1];

		if (l != 1)da[l] += x;
		if (l == 1)a[1] += x;
		if (r != n)da[r + 1] -= x;

		if (l != 1 && da[l] > 0)maxx += da[l];
		if (r != n && da[r + 1] > 0)maxx += da[r + 1];
		xx = (a[1] - maxx) / 2;
		ans = max(a[1] - xx, xx + maxx);
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}