Codeforces Round #670 (Div. 2) D. Three Sequences(思维)

题目链接：https://codeforces.ml/contest/1406/problem/D

题目大意：

  给一个序列ai，有一个非递减序列bi和非递减序列ci，要求每一个位置上的bi和ci的和要等于ai，要求bi和ci中的最大值最小，求这个最大值。同时有修改操作，q次修改，给l到r区间的数字加x，$1<=n<=10^5,1<=q<=10^5$

题目思路：

  好久没训练了，思维真的跟不上了。。好多并不是很难的思维题完全想不到，得加强训练了。这题一看到就以为是线段树，看了好久都没看出有关的性质，挺糟糕的。。其实有个很容易发现的性质，就是每次bi和ci的变化都跟ai的差分有关。在得到差分后可以发现，如果是正差分，那一定是给bi好，因为如果分一点给ci，那么bi只会更大，变得更烂，反之亦然。所以正差分给b，负差分给c。同时由于bi非递减，ci非递增，所以答案是$max(b_n,c_1)$，由于$b_1+c_1=a_1$所以$c_1=a_1-b_1$，刚才又得到结论，只有在正差分才给b，那么假设正差分的和为d，$b_n=b_1+d$所以答案就是$max(a_1-b_1,b_1+d)$,很明显是二者相等最小，那么$a_1-b_1=b_1+d$，$a_1$和$d$是已知的数，可以得到$b_1=\lfloor \frac{a_1-d}{2}\rfloor$,代入原式，发现我们现在只需要维护$a_1,d$，还有个很舒服的事情就是对l r区间加x的话，仅仅只有$a[l]-a[l-1]$和$a[r+1]-a[r]$这两个差分变化了，所以只用关心这两个地方就行。需要注意的就是l为1和r为n的时候，对应那一端没有差分变化。

以下是代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)

const int MAXN = 1e6+5;
const int MOD = 998244353;
int n,q,l,r,x;
ll a[MAXN],d[MAXN];
int main(){
    
    
    while(~scanf("%d",&n)){
    
    
        rep(i,1,n)scanf("%I64d",&a[i]);
        ll sum=0;
        rep(i,2,n){
    
    
            d[i]=a[i]-a[i-1];
            if(d[i]>0)sum+=d[i];
        }
        ll temp=(a[1]-sum)/2;
        ll ans=max(temp+sum,a[1]-temp);
        printf("%I64d\n",ans);
        scanf("%d",&q);
        while(q--){
    
    
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
            if(l==1)a[1]+=x;
            else{
    
    
                if(d[l]>0)sum-=d[l];
                d[l]+=x;
                if(d[l]>0)sum+=d[l];
            }
            if(r<n){
    
    
                if(d[r+1]>0)sum-=d[r+1];
                d[r+1]-=x;
                if(d[r+1]>0)sum+=d[r+1];
            }
            ll temp=(a[1]-sum)/2;
            ll ans=max(temp+sum,a[1]-temp);
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}