leetcode 70、爬楼梯问题

动态规划解爬楼梯问题

问题描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

解题思路

这个问题跟取石子是相同的，很自然想到动态规划。
设，爬到楼顶共有f(n)种方法，共有n阶台阶（n阶台阶，f(n)种方法），想要爬完最后一阶楼梯前，可以是剩下最后一阶台阶，或者是剩下最后两阶。如果是剩下一阶，则应该有f(n-1)种方法(保持映射关系，n-1阶台阶，f(n-1)种方法)；如果剩下最后两阶，则应该有f(n-2)种方法。因为爬完n-1和爬完n-2是两种不同方式，为了爬完n阶楼梯，这是可以叠加的，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；这便是状态转移公式，公式的出口应该是 f(0) = 1 和 f(1) = 1；由此可以创建一个数组用于存放每个f(n)的值，即n阶楼梯对应的方法总数。

代码：

public class ClimbingStairs {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(climbStairs(5));
    }
    public static int climbStairs(int n) {//方法参数n为楼梯数
        int[] ans = new int[n+1];//用于存放方法数，f(n)即最后爬完n阶楼梯的方法总数
        ans[0] = 1;
        ans[1] = 1;
        for (int i = 2; i < n + 1; i++) {
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        }
        return ans[n];//返回方法总数
    }
}

因为只有一个for循环，所以时间复杂度为O(n)。