运筹学那些事，专科学生学习运筹学之网络计划技术，No.6

活动。活动是指作业或工序，用箭线表示，符号为→，箭线的方向表示活动前进的方向，从箭尾到箭头表示一项活动的开始到终结的过程。按箭头的方向，在箭线的左侧写上活动的名称，右侧写上进行该活动所占用的时间。
结点。结点是指事项。在网络图中，就是两个活动之间的交接点，用圆圈O表示。一项规划一般地只有一个总开始（开工）结点和一个总结束（完成）结点。
结点要进行编号，编号的原则是：箭尾结点(i)小于箭头结点（j）；而且一般采用非连续编号，即可空出几个号，跳着编，如1,3，5，…这样结点有增减变化时，可以进行局部改动，不致打乱全部编号。
线路。线路是指从网络的起点开始，顺着箭线的方向，中间经过互相连接的结点和箭线，到网络终点为止的一条连线。在一线线路上，把各个活动的作业时间加起来，就是该线路的总作业时间。在所有线路中，总作业时间最长的线路就是关键线路，或叫主要矛盾线。关键线路决定整个网络计划的完工时间
例如，下图，线路如下：

（1）1->3->13->17->19->21 ====> 2+8+2+6+5
（2）1->3->7->9->11->13->17->19->21 ====> 2+0+4+3+0+2+6+5
（依次类推）

线路的总长度称为路长，也就是这条线路上各项活动所需时间的总和。在所有的各条线路的路长中，最长的线路在网络图中称为关键线路。关键线路在网络图上用双线或红线标出。

箭线式网络图的绘制

任务分解。任务分解就是把一个计划项目的总任务分解成一定数量的分任务，并确定它们之间的先后承接关系。
任务分解的原则
（1）工作性质不同或由不同单位执行的工作应分开，如产品设计与工装设计要分开
（2）同一单位进行的工作，工作时间先后不衔接的要分开，如技术设计与工作图设计要分开，材料采购与外协件采购要分开
（3）占用时间，不消耗资源，但影响工程完工日期的工作都应作为分任务，列入网络图

案例（本案例务必学会，自考常考）
在这里插入图片描述
2. 画网络图
第一步：先画出没有紧接前项活动的A、B，给网络编号为1

第二步：在上图，用一条斜线\消去已画入网络图的活动A、B。在A后面，画出紧接前项活动为A的活动E；在B后面，画出，紧接前项活动为B的活动D；给新增的结点编号3和5，在A与B的后面，画出紧接前项活动为A、B的活动C；注意，画活动C时要引进虚活动；为新增的结点编号为7
在这里插入图片描述
第三步：在上图，用两条斜线\\消去已画入网络图的活动。查看“某一工程的活动明细表”发现，尚未画入网络图的活动有F，将F画在紧接前项活动C之后；给新增的结点编号为9
运筹学自考
的四步：在上图，用三条斜线\\\消去已画入网络图的F、E、D
查看“某一工程的活动明细表”发现尚未画入网络图的活动有G、H，在E、F之后上G，在D、F之后画上H；注意，这里需要引入虚活动；给新增的结点编号为11,13,15
在这里插入图片描述
第五步：最终得到的网络图如下

虚活动介绍：箭线式网络图中，为了正确反映各个活动之间的逻辑关系，有时需要引进虚活动，虚活动以-->符号表示。虚活动即虚设的活动，它不消耗资源，不占用时间。
虚活动引进有两种情况

先后两个结点之间的工作过程只能代表一项活动，当两个或两个以上的活动具有同一个始点和终点时，需要引入虚活动。
为了正确表示各个活动之间的先后承接关系，有时必须引入虚活动

网络时间计算

网络时间的计算有三种计算方法：图上计算法、表格计算法、矩阵计算法。本节重点介绍图上计算法
在这里插入图片描述
结点符号。圆圈的上半圆表示结点号（第几个结点）；下半圆左侧标注该结点（事项）的最早开始时间值，右侧标注该结点的最迟完成时间值

运筹学自考
活动最早开始或者最早完成的时间符号。在长方形符号中标以活动最早开始或完成的时间值。该符号放在箭线的上方。在活动的前结点i的右上角或后结点j的左上角画此符号。

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活动最迟完成或最迟开始时间符号。在三角形符号中标以活动最迟完成或最迟开始时间值。

作业时间

作业时间就是在一定的生产技术条件下，完成一项活动或一道工序所需要的时间。符号T_i，j表示i->j这项活动的作业时间。

确定作业时间的方法

单一时间估计法
三种时间估计法
分别为
a. 最乐观时间，完成一项活动可能最短的时间
b. 最保守时间，完成一项活动可能最长的时间
m. 最可能时间，在正常条件下，完成该项活动可能性最大的时间。

结点时间

（1）结点（事项）最早开始（或最早完成）时间。
计算每个结点的最早开始时间应从网络的始点开始（始点的最早开始时间为0），自左向右，顺着箭线的方向，逐个计算，直至网络的终点。

结点最早开始时间的计算公式如下
在这里插入图片描述

ES_j ------> 箭头结点 j 的最早开始时间
ES_i ------> 箭头结点 i 的最早开始时间
T_i,j -------> 活动i->j的作业时间
max --------> 表示当通向结点 j 的活动不止一个时，取(ES_i+T_i,j)诸数中最大的一个。这就是说，只有当完成时间最长的活动完成时，结点 j 后面的活动才能开始。

运筹学自考
结点时间的计算如下
已知：ES₇ = 3，T_7,9 = 4，T_9,11 = 3
所以：ES₉ = ES₇ + T_7,9 = 3+4 = 7
ES₁₁ = ES₉ + T_9,11 = 7+3 = 10

为何结点7的最早开始时间是ES₇ = 3
运筹学自考
已知：ES₃=2，ES₅=3，T_3,7=0，T_5,7=0
求：ES₇ = ?
结点3—结点7：ES^’₇ = ES₃ + T_3,7 = 2+0 =2
结点5—结点7：ES^’'₇ = ES₅ + T_5,7 = 3+0 =3

所以ES₇ = 3，上面的截图可绘制成：
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（2）结点的最迟完成时间
一个事项最迟完成的时间，就是在这个时期内该事项如果不完成，就要影响紧后的各个工作的按时开工。
终点结点（事项）的最迟完成时间应等于总工期。

因结点不占用时间，就同一个结点来说，最迟完成时间和最迟开始时间是相同的。

计算每个结点的最迟完成时间是从网络的终点开始，自右向左，逆着箭线的方向，逐个计算，直至网络的始点。
结点最迟完成时间的计算公式如下
运筹学自考

LF_i -----> 箭尾结点i的最迟完成时间
LF_j -----> 箭头结点j的最迟完成时间
T_i,j ------> 活动 i-> j 的作业时间
min -------> 表示当从结点 i 开始的活动不止一个时，取诸数中最小的一个。
为了保证开始时间最早的活动能按时开始工作，要求结点i以前的全部活动最迟必须在这个最早的时间完成。

例题，在下图中，截取一部分
运筹学自考
在这里插入图片描述
结合上面已经绘制的图，上图可以表示为

现对上图进行结点最迟完成时间的计算。
第一种情况：
结点7、结点9和结点11箭线连接部分的结点7和结点9的最迟完成时间的计算：
设已知：LF₁₁ = 10 ,T_9,11 = 3 , T_7,9 = 4
求：LF₉ = ? LF₇ = ?

LF₉ = LF₁₁ - T_9,11 = 10 - 3 = 7
LF₇ = LF₉ - T_7,9 = 7-4 = 3

第二种情况：
结点11和结点13、结点15箭线连接部分的结点11的最迟完成时间的计算

设已知：LF₁₃=15，LF₁₅=10，T_11,15=0，T_11,13=0
求：LF₁₁

结点11->结点15：LF^’₁₁ = LF₁₅-T_11,15 = 10 - 0 = 10
结点11->结点13：LF^’'₁₁=LF₁₃-T_11,13 = 15 - 0 = 15

所以LF₁₁ = 10
在这里插入图片描述
结点有时差，最早开始时间和最迟完成时间相等的结点称为关键点或关键事项，将它们按编号顺序从始点到终点串联起来，就是所要寻求的关键线路

活动时间（工作的作业时间）

在箭线式网络图中，要计算的活动时间有四个，即活动的最早开始时间、最早完成时间、最迟开始时间、最迟完成时间
运筹学自考
活动时间的计算要与结点时间的计算结合进行。
活动的最早开始时间、最早完成时间与结点的最早开始时间顺着箭线的方向，逐个进行计算。
活动的最迟完成时间、最迟开始时间与结点的最迟完成时间逆着箭线的方向，逐个进行计算。

活动的最早开始时间
活动最早的开始时刻，用ES_i,j表示，即活动 i->j 的最早开始时间。它的计算可以通过结点（事项）的最早开始时间来进行，也可以通过它的紧前活动最早开始时间加上活动的作业时间来进行。计算方向是从左向右逐项活动依次计算。

ES_i,j = ES_i

实际上：某项活动(i->j)的最早开始时间就是它的箭尾结点的最早开始时间。

若用某项活动的最早开始时间加上作业时间来计算时，当遇到有多个紧前活动时，应选用其中最早开始时间加上该项活动的作业时间之和的最大值，即

ES_i,j = max { ES_h,i + T_h,i }

式子中
ES_h,i 为紧前活动的最早开始时间
T_h,i 为紧前活动的作业时间

活动的最早完成时间
某项活动的最早完成时间用 EF_i,j表示，其值等于它的最早开始时间ES_i,j加上完成该活动所需的作业时间T_i,j即：

EF_i,j = ES_i,j + T_i,j = ES_i+T_i,j

活动的最迟完成时间
活动的最迟完成时间就是指在这个时间里活动必须完成，在这时间里该活动如果不完成，就要影响它的紧后各项活动的按时开始。它的计算公式是：

LF_i,j = LF_j

即，某项活动（如，i->j）的最迟完成时间就是该项活动箭头结点（事项）的最迟完成时间。
某项活动的最迟完成时间也就是该活动的最迟开始时间加上活动作业时间，即

LF_i,j = LS_i,j + T_i,j

上述式中
LF_i,j 活动 i -> j 最迟完成时间
LF_j 箭头结点 j 的最迟完成时间
T_i,j 活动 i->j 的作业时间
LS_i,j 活动 i->j 的最迟开始时间

活动的最迟开始时间
活动的最迟开始时间的计算可以通过箭头结点的最迟完成时间（或活动的最迟完成时间）减去本项互动的作业时间求得

LS_i,j = LF_j - T_i,j = LF_i,j - T_i,j

参照例子

（1）下图，计算各项活动的最早开始时间
在这里插入图片描述
ES_1,3 = 0
ES_1,5 = 0
ES_3,7 = 2
ES_5,7 = 3
…
…
…
依次类推，看下图
用到的公式
ES_i,j = ES_i
ES_i,j = max { ES_h,i + T_h,i }

（2）计算各项活动的最迟完成时间
EF_1,3 = 2
EF_1,5 = 3
…
…
…
依次类推
用到的公式
EF_i,j = ES_i,j + T_i,j = ES_i + T_i,j

（3）计算各活动的最迟完成时间

根据公式
LF_i,j = LF_j
LF_i,j = LS_i,j + T_i,j
已知：LF₂₁ = 28。
则
LF_19,21 = 28
LF_17,19 = 23
…
…
…

（4）计算各活动的最迟开始时间
自行查阅教材部分即可，只是计算量，无难度

最终，计算完毕之后，会绘制下图
运筹学自考

主要对概念理解清楚，计算熟练即可

网络时间的表格计算法（自考不考）

图上计算法，简单方便，但是当活动数目一多，非常容易计算错误，为了防止出错，采用表格计算法。

表格计算法步骤

制定表格
填表
活动时间的计算

通过表格计算法最终得到的结果如下
在这里插入图片描述
表格计算法也以网络图为基础，计算起来不及图上计算法具体清晰，但熟练以后，比较方便，并且适用于计算机计算。

时差和关键线路

一个工作或一个工程有时差，表明了有多大的机动时间可以利用。时差越大，则时间的潜力也越大。
也就是说，可以将工作的资源暂时调出去支撑关键性线路。
计算和利用时差，是网络分析中一个重要问题

结点时差

结点时差的计算公式为

S_i = LF_i - ES_i

结点时差等于0的结点，叫做关键结点

活动时差（工序时差）

活动时差有以下四种：总时差S^总_i,j 、专用时差S^专_i,j、局部时差1（S^局1_i,j）、局部时差2(S^局2_i,j)。

活动总时差
S^总_i,j = LF_j - T_i,j - ES_i

在这里插入图片描述
E(3->13)的总时差为

从图中可以看出，总时差8中，包括三个部分
（1）结点13的时差：S₁₃ = 15 - 10 = 5
时差5周是活动E和紧后活动G的可共用的时差。如果活动E在结点13的最迟完成时间完成，则这部分时差就完全被活动E占用了
（2）结点3的时差：S₃ = 3 - 2 = 1
这个时差1周是活动E和紧前活动A可以共用的时差。如果活动E在结点3的最早开始时间开始，则这一部分的时差也完全让给活动E使用了
（3）活动E的专用时差：总时差中减去上述两部分共用时差，留下的差额就是活动E的专用时差。

总时差等于0的活动称为关键活动或者关键工序。

线段时差

两个关键结点之间的一个活动，或两个关键结点之间的几个活动连接相接的连线，称为线段。

线路时差

线路是从始点出发，经过连续相接的活动，直到终点的一条连线。

从始点出发，由各个关键活动连续相接，直到终点的线路称为关键线路。

线路时差等于等个线段时差之和。

关键线路的线路时差等于0 。

最优方案的选择

最优方案的选择也就是网络优化的问题。

网络计划优化的内容有以下三个：（1）时间优化（2）时间与资源优化（3）时间与成本优化

基于教材内容，阅读一遍即可。

自考必备指南

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在自考中，网络图必考部分如下，网络图，关键线路
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