05/07/2020
3D数学简介
3D数学
- 数学和计算几何模拟3D世界
- 图形学，游戏，仿真，机器人技术，VR/AR和动画等
- 理解数学与几何之间的关系
- 结合图形学，线性代数和编程之间的关系
- 数学：公式
- 几何：数学和几何的联系
- 代码：为了实现
笛卡尔坐标系统
- 如何在3D空间中精确度量位置、距离和角度，最广泛的度量体系笛卡尔坐标系统。
1D数学
- 自然数的诞生
- 进一步，自然数数轴出现
- 现有整数，后有分数，再来负数等等
计算机图形学第一准则：近似原则如果它看上去是对的它就是对的？
2D数学
- 初中学的2D笛卡尔坐标系，又叫x-y轴，有原点
- 例子可以想象是东南西北四个方向的街道，和地图差不多
- x-y轴互相垂直
- 根据需求决定轴的方向
- 通过旋转或翻转，轴的方向都可以等价转换，但是3D坐标系不成立。
- 两个数可以定位一个点（x，y），坐标的每一个分量都表明了该点与原点之间的距离和方位。
3D
- 有3个轴，互相垂直，有原点
- 相当于3个2D笛卡尔空间
左右手坐标系
- 如果z轴朝向纸的里面，在不改变x-y轴的情况下，让z轴朝向纸的外面，答案是不行，所以3D中坐标系不是相互等价的，意味着不能相互转换，所以有左右手不同的坐标系。
- 如何同属于左手或者右手坐标系，可以通过旋转来相互转换
- 左手坐标系，x轴朝右，右手坐标系，x轴朝左
- 分别可以对3个轴进行旋转
- 一共有48种选择，左右手各24种
- 使用左手坐标系
多坐标系
世界坐标系
现实生活中的绝对坐标系，地球的经纬度
- 游戏中的世界坐标系关于初始位置和环境
- 每个物体的位置和方向
- 摄像机的位置和方向
- 世界中每一个点的地形是什么
- 各物体从哪里来，到哪里去（NPC运动策略）
物体坐标系
物体坐标系是和特定物体相关联的坐标系
- 每个物体都有他们独立的坐标系
- 当物体移动或改变方向时，该物体相关联的坐标系将随之移动或改变方向
- 比如说左右转相对于自身这个物体坐标系，但是东西转就是相对于世界坐标
摄像机坐标系
摄像机坐标系是和观察者密切相关的坐标系。它是处于3D空间中。
- 摄像机本身是原点
- x轴朝右
- y轴超上
- z轴朝向屏幕内
惯性坐标系
为了简化时间坐标系到物体坐标系的转换，所以出来了惯性坐标系。
- 惯性坐标系原点和物体坐标系的原点重合，但惯性坐标系的轴平行于世界坐标系
好处
物体坐标系到惯性世界坐标系只需要旋转，惯性坐标系到世界坐标系只需要平移。分开考虑，分开计算，容易理解。
嵌套式坐标系
世界坐标系确定了一个点，再用相对位置确定其他部位，羊的头，羊的脚等等，并不需要通过绝对坐标来画羊的头或脚。假如不需要完全画出羊，只需要跟踪物体坐标系的原点就可以了，即世界坐标系中的一个点，可以节省资源，没有必要计算羊的其他部位的绝对位置，除非走到摄像机的视野中。
- 父子坐标系：世界坐标系是父，物体坐标系是左。物体的移动和物体本身的抖动可以拆分，例如羊耳朵扇动，只是相对于羊自身的相对位置，不管世界坐标系。
- 羊坐标系相对于世界坐标系运动，羊头坐标系相对于羊坐标系运动能够，羊耳朵相对月羊头坐标系运动，这样会很方便。
- 继而树状的坐标系出来了
坐标系转换
物理坐标系转换到世界坐标系
坐标系的旋转或平移与物体本身是相反的。坐标系顺时针旋转45度，代表物体逆时针旋转45度。
向量
向量是数字列表，也可能是数组，是研究3D数学的工具。
记法：行向量与列向量
用x，y，z代表3D向量的分量。[x,y,z]，表示沿着x，y，z坐标方向的位移
几何理解
- 向量的大小就是向量的长度（模）
- 向量的方向描述了空间中向量的指向。**注意：**方向并不完全和方位相同
- 向量只有大小和方向，没有位置
- 例如向前走3步
- 向北行径30km/m
- 标量是没有方向的
向量与点
点有位置，但没有实际的大小，点描述位置，向量描述位移
向量与点的关系
从原点开始，按向量[x,y]所代表的位移移动，总会到（x,y）这个位置。所以思考位置时，想象一个点，思考位移时，想象一个向量和一个箭头。
向量运算
专门研究向量的分支称为线性代数。
线性代数与几何的意义大多数没有介绍，强调几何意义会感觉更加生动。
例如：向量乘以矩阵可以实现坐标空间转换。
零向量
表示唯一大小为0的向量，同时也是没有方向的。这就说明零向量没有位移。
如果每一个向量的模都相等，那么所有相等的向量可以构成一个圆。
负向量
几何解释：与原有向量大小相等，方向相反的向量
注意：向量在图中位置是无关紧要的，只有大小和方向才是最重要的。
向量大小（长度或模）
向量大小就是各分量平方和的平方根
- 是标量，但不能是负数
几何解释：图中的勾股定理
标量与向量相乘或相除
每一向量分量乘以标量
- 得到还是向量
- 除法相当于变成分数相乘，不可以除零
- 负向量可以认为是乘法的特殊情况，乘以-1
几何解释：
向量乘以标量k的效果是以因子k缩放向量的长度
标准化向量
单位向量的大小为1，所以我们只关心方向。被叫做标准化向量或者法线
几何解释：表示单位圆
向量加法和减法
- 每个分量做加减法，所以向量的维度需要保持一致。
几何解释：
- 相加：平移向量，三角形法则。
[1, -3, 4] 拆分成 [1, 0, 0] + [0, -3, 0] + [0, 0, 4], 表示向右一个单位，向下一个单位，向前4个单位 - 相减：一个点到另一个点的向量，或者从一个点移动到到另一个点
- b - a 表示从a到b的向量，有方向
- 距离公式，无关方向
向量点乘
两个向量之间相乘。
- 得到一个标量
几何解释：
- 描述了两个向量的相似程度，点乘结果越大，两向量越接近，方向基本相同。
- 点乘和向量之间的夹角有关
- 点乘等于向量大小与向量夹角的cos值得积
- 反过来，通过点乘可以计算两个向量夹角的度数
- 点乘大于0，锐角
- 点乘等于0，直角
- 点乘小于0，钝角，不超过180度
- 零向量与任何其他向量保持垂直，因为点乘结果永远为0
向量投影1：
两个向量v和n，v可以拆分两个分量，分别平行于和垂直于n向量。
- 平行分量与垂直分量向量相加等于向量v
- 先求平行分量，再求垂直分量
- 平行分量：
- 单位向量只关心方向，乘以k因子可以进行缩放。所以单位向量与标量相乘，等到了方向和大小。
- 垂直分量：通过向量v减去平行分量得出来
向量叉乘
- 叉乘优先于点乘
- 叉乘结果为垂直于平面的第三向量，它有两个方向
几何解释：
- 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
- 叉乘的长度等于向量的大小与向量夹角sin值得积
总结
- 向量与标量相乘，不同标量的k影响了向量长度或者反向的倒转
- 向量之间的加减法
- 加法：起始向量多次位移，最后到最后目的地的长度和方向
- 减法：两点之间的长度和方向
- 向量点乘：两向量夹角的度数或夹角类型（重叠，锐角，直角，钝角，平角）
- 向量投影：点乘计算投影，将向量分解为平行和垂直于其他向量的两个分量。
- 向量叉乘：求出垂直于平面的向量。两个向量可以组成一个平面。长度是两向量组成的平行四边形的面积。方向是由左右手坐标系与两向量组合决定的。
3D 数学基础：图形与游戏开发 第一章到第五章
3D 数学基础 5.10.3 ↩︎