一、向量

一向量

目标：

向量的定义和表示方式。
向量的标准化。
向量的运算，包括加减、数乘、点乘、叉乘
坐标系和齐次坐标系
XNA库中向量的表示和操作方法

1.1 向量的概念

只有大小的量叫做标量（Scalar）；既有大小又有方向的量叫做向量（Vector）；

由定义可知：向量与位置无关，即处于不同位置的两个向量，只要大小和方向相同，我们就是说他们相等。

1.1.1 向量的表示

向量最初被应用于物理学，数学中的向量是从复数中引入的。在数学中，向量有以下三种表示形式：

a. 几何表示：规定了起点和终点的有向线段。

b. 坐标表示：在坐标系中平移向量，使向量的起点与原点重合，此时向量终点的坐标用于表示改向量。

在坐标表示形式中，向量和点的表示形式没有差别，都是形如 $a=(x,y)$ 或 $b=(x,y,z)$ 的形式，因此需要根据上下文理解。

而齐次坐标的表示就是为了解决这样的歧义，该表示方式通过增加一个维度来标识点或向量。

c. 线性组合表示： $a=a_x \times i+ a_y \times j + a_z \times k$ 其中 $i,j,k$ 表示单位向量，这种表示方法与坐标表示是对应的。

1.1.2 左手坐标系与右手坐标系

三维空间有多种表示方法，最常用的方法是笛卡尔坐标系。三维笛卡尔坐标系基于三条相互垂直的坐标轴：x轴、y轴、z轴。每条坐标轴都有原点、正方向、单位长度三要素。根据三条坐标轴之间的相对位置，有两种三维笛卡尔坐标系：左手坐标系（LHS）和右手坐标系（RHS）。

左手坐标系：当左手拇指指向z轴，其余四指指向x轴、并能够扫向y轴时，该坐标系称为左手坐标系。

1.2 向量的长度及标准化

1.2.1 向量的长度

在几何中，向量的长度（大小）叫做向量的模，也叫做向量的范数。对于向量 $u=(x,y,z)$ ,其模可以记作 $||u||$ :

\begin{matrix} (2) & | | u | | = \sqrt{(x^{2} + y^{2} + z^{2})} \end{matrix}

$||u|| = \sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$

1.2.2 向量的标准化

长度为1的向量叫做单位向量，向量的标准化就是对向量进行缩放，使其变为单位向量。通常在不关心向量长度而只关注向量方向的情况下进行标准化操作。对于给定向量 $n=(x,y,z)$ ,其标准化向量表示为 $\hat{n}$ :

\begin{matrix} (3) & \hat{n} = n / | | n | |, | | n | | \neq 0 \end{matrix}

$\hat{n} = n/||n||, ||n||\ne 0$
标准化向量在判断多边形朝向、关照计算、碰撞检测等情形下常用到。

1.3 向量的运算

1.3.1 加减

从坐标表示来看，向量的加减只需将各个分量分别相加减即可；
从几何表示来看，向量的加减满足平行四边形法则和三角形法则。

从坐标表示或从几何表示来看，减去一个向量实际上相当于加上一个方向相反大小相等的向量。几何上有一句口诀：相同起点，指向被减。

向量的加法和乘法满足交换律和结合律，即：

\begin{matrix} (4) & u + v = v + u \end{matrix}

$u+v = v+u$

\begin{matrix} (5) & (u + v) + w = u + (v + w) \end{matrix}

$(u+v)+w=u+(v+w)$

1.3.2 数乘

数乘指一个标量和一个向量相乘，得到的结果也是一个向量。

1.3.3 点积

点积是向量乘法的一种形式，其结果是一个标量，因此也称为数量积。当 $\alpha$ 与 $\beta$ 都不为零向量，且夹角为 $\varphi$ ,数量积记做： $\alpha \cdot \beta = ||\alpha|| \cdot||beta||\cdot cos\varphi$ 。

由于向量数量积满足分配率，在直角坐标系中，给定向量 $u=(u_x,u_y,u_z)$ 和 $v=(v_x,v_y,v_z)$ ，点积可表示为：

\begin{matrix} (6) & u \cdot v = u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y} + u_{z} v_{z} \end{matrix}

$u \cdot v = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

1.3.4 叉积

叉积是向量乘法的另一种形式，其结果是一个向量，因此也称为向量积。当 $\alpha$ 与 $\beta$ 都不为零向量，且夹角为 $\varphi$ ,向量积记做: $\alpha \times \beta$ ，其长度为： $||\alpha \times \beta|| = ||\alpha|| \cdot||beta||\cdot sin\varphi$ 。向量积结果与 $\alpha$ 和 $\beta$ 同时垂直。在左手坐标系中满足左手法则，右手坐标系中满足右手法则。

在直角坐标系中，给定向量 $u=(u_x,u_y,u_z)$ 和 $v=(v_x,v_y,v_z)$ ，向量积可表示为：

\begin{matrix} (7) & u \times v = [(u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}), (u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}), (u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x})] = | \begin{matrix} i & j & k \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \end{matrix}

$u \times v = [(u_yv_z-u_zv_y),(u_zv_x-u_xv_z),(u_xv_y-u_yv_x)]= \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2& b_3 \end{vmatrix}$

1.4 齐次坐标系

在笛卡尔坐标系中，向量和点的表示形式没有差别，都是形如 $a=(x,y)$ 或 $b=(x,y,z)$ 的形式，因此需要根据上下文理解。

而齐次坐标的表示就是为了解决这样的歧义，该表示方式通过增加一个维度来标识点或向量。如在三维坐标系中，点 $p=(x,y,z)$ 的齐次坐标形式为 $(x,y,z,1)$ ，向量 $u=(x,y,z)$ 的齐次坐标形式为 $(x,y,z,0)$ 。

采用齐次坐标有以下优点：

表示无穷远概念，当 $w$ 趋近于无穷远时， $x/w$ 将趋近于无穷；
可以使用相同的形式执行所有基础变换，包括线性变换、平移和投影变换。如 $3 \times 3$ 的矩阵不能实现三维点的平移变换，必须使用 $4 \times 4$ 的矩阵。

1.5 XNA向量

XNA（Next Generation Architecture）是DirextX 11 SDK的一部分。在DirextX 11 SDK以前版本，有一个数学库名为D3DXMath，但逐渐被淘汰。

目前win8、win10的windows SDK包含一个DirectX SDK，最新的是directxmath库（DirectXMath为单精度浮点向量（2D，3D和4D）或矩阵（3×3和4×4）提供了一个优化的可移植接口，用于算术和线性代数运算）

最关键的一个类是XMVECTOR，它是通过支持SIMD的SSE及其扩展指令集的支持库Intrisics实现的，是__m128的别名。是一个实现与平台相关的，非常复杂的，进行16字节对齐的，映射到SSE寄存器的类型。

1_向量_《3D图形编程基础——基于DirectX11》笔记