1. 动态规划之选数问题
关于动态规划算法的介绍可以参考我上一篇博客：https://blog.csdn.net/can_chen/article/details/105888291
题目要求：
假设给定一串数字{1, 2, 4, 1, 7, 8, 3}，我们要从中选择若干个数，使最后的和达到最大。选择的规则是，不能选相邻的数字。比如：如果我们选了第一个数字1，那么我们就不能选2，如果我们选择了数字4，那么我们就不能选择与它相邻的2和1。
动态规划的思想：将整个问题划分成一个个子问题，也就是说要求整个数列的最大和，可以先求出前面若干个数的和，一直划分到求出只有一个数的最大和（即本身），而每个子问题的解对于后面的结果都是有用的，这就是用到了动态规划的思想
思路：
对于每个数，都有选和不选两种状态，如果选了这个数，那么就不能选他相邻的那个数，那么最大和就等于本身加上他相邻的那位数之前那些数的最大和，如果不选这个数，那么便可以选它相邻的那个数，那么最大和就等于这个数之前的那些数的最大和。最终的结果就是取这两种选择的最大值
这里就可以使用递归，即Math.max(dp(arr, x-2)+arr[x], dp(arr, x-1))；
递归的出口：
- 如果只有一个数，那么最大和就是本身
- 如果只有两个数，那么最大和就是这两个数中的最大值
递归解法：（效率低）
/**
* 动态规划之选数问题:递归解法
* @param arr：将给定的一串数字放在数组中
* @param x：数组下标，也就是求出数组第一个元素到这个下标之间的最大和
* @return
*/
public static int dp(int[] arr,int x){
if(x==0){
return arr[0];
}
if(x==1){
return Math.max(arr[0], arr[1]);
}
return Math.max(dp(arr, x-2)+arr[x], dp(arr, x-1));
}
非递归解法：
由于递归会重复计算相同的值，所以我们这里使用非递归解法，也就是创建一个数组来保存计算过的值，由此提高效率。例如temp[0]用来保存数组中只有一个数的最大和，temp[1]用来保存数组中只有两个数的最大和；temp[arr.length()-1]用来保存整个数组的最大和
/**
* 动态规划之选数问题:非递归解法
* @return
*/
public static int dp(int[] arr){
int[] temp=new int[arr.length];
temp[0]=arr[0];
temp[1]=Math.max(arr[0], arr[1]);
for(int i=2;i<arr.length;i++){
temp[i]=Math.max(temp[i-2]+arr[i],temp[i-1]);
}
return temp[arr.length-1];
}
2. 动态规划之最长公共子序列
最长公共子序列问题：longest common subsequence，也叫LCS问题，是动态规划算法的经典例题；解题步骤类似于背包问题，通过创建一个二维数组，并逐步进行填充，通过填表，总结出此问题的公式！
题目描述：
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列。若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。
/**
* 动态规划之最长公共子序列
* @return
*/
public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int len1=text1.length();
int len2=text2.length();
char[] ch1=text1.toCharArray();
char[] ch2=text2.toCharArray();
//动态规划算法创建的二维数组一般都得多增一行一列，这是为了防止数组越界异常
int[][] p=new int[len1+1][len2+1];
//填表，第一行和第一列都为0，所以填表从下标为1的行和下标为1的列开始填
for(int i=1;i<p.length;i++){
for(int j=1;j<p[0].length;j++){
if(ch1[i-1]==ch2[j-1]){
p[i][j]=p[i-1][j-1]+1;
}else{
p[i][j]=Math.max(p[i-1][j], p[i][j-1]);
}
}
}
return p[len1][len2];
}
3. 动态规划之最长公共子串
最长公共子串与最长公共序列是易混的概念，公共子串和公共子序列不同，公共子序列不要求连续，但是公共子串必须是连续的。例如：String s1=“helloworld”；String s2=“loop”；则s1和s2的最长公共子序列是“loo"，但是最长公共子串是"lo"
最长公共子串问题也是动态规划算法的经典例题，解题思路和最长公共子序列类似，和LCS问题唯一不同的地方在于当c1[i] != c2[j]时，p[i] [j]就直接等于0了，因为子串必须连续，且p[i] [j]表示的是以c1[i]，c2[j]截尾的公共子串的长度。这个和LCS问题还有一点不同的就是，需要设置一个max，每一步都更新得到最长公共子串的长度。
题目描述：
最大公共子串长度问题就是：求两个串的所有子串中能够匹配上的最大长度是多少。
比如：“abcdkkk” 和 “baabcdadabc”，可以找到的最长的公共子串是"abcd",所以最大公共子串长度为4。
/**
* 动态规划之最长公共子串
* @return
*/
public static int f(String s1, String s2) {
char[] c1 = s1.toCharArray();
char[] c2 = s2.toCharArray();
int[][] p= new int[c1.length + 1][c2.length + 1];
int max = 0;
for (int i = 1; i < p.length; i++) {
for (int j = 1; j < p[i].length; j++) {
if (c1[i - 1] == c2[j -1]) {
p[i][j] = p[i - 1][j - 1] + 1;
if (p[i][j] > max)
max = p[i][j];
}
}
}
return max;
}
总结：动态规划算法常见的两种解题思路：
- 一是使用递归，动态规划算法使用的递归与普通递归略有区别，比如选数问题使用的递归，各个子问题之间是有联系的，这就是动态规划的递归；而分治算法也常使用递归，例如二分查找，各个子问题是相互独立的。
- 二是通过创建二维数组（二维数组通常要多创建一行一列防止代码书写过程出现越界异常），然后逐步填充二维数组，并得到求解问题的递推公式！