十五、复合变换

1. 定义

假设：

$\begin{align*} & S: X \mapsto Y \\ & X \in R^n, Y \in R^m \\ & S(\vec{x}) = \mathbf{A} \vec{x} \end{align*}$

$\begin{align*} & T: Y \mapsto Z \\ & Z \in R^l \\ & T(\vec{x}) = \mathbf{B} \vec{x} \end{align*}$

S和T的复合变换：首先对X中的向量执行S变换，得到Y中的向量，然后对Y中的向量进行T变换，最终得到集合Z中的向量。简单地说，复合变换直接将X映射到了Z。

2. 两个线性变换的复合变换，仍然是一个线性变换

假设：

$ToS(\vec{x}) = T(S(\vec{x}))$

证明，条件1：

$\begin{align*} ToS(\vec{x} + \vec{y}) &= T(S(\vec{x} + \vec{y})) \\ &= T(S(\vec{x}) + S(\vec{y})) \\ &= T(S(\vec{x})) + T(S(\vec{y})) \\ &= ToS(\vec{x}) + ToS(\vec{y}) \end{align*}$

条件2：

$\begin{align*} ToS(c \vec{x}) &= T(S(c \vec{x})) \\ &= T(c S(\vec{x})) \\ &= c T(S(\vec{x})) \\ &= c ToS(\vec{x}) \end{align*}$

因此，两个线性变换的复合变换，仍然是一个线性变换

3. 复合变换的变换矩阵

将复合变换表示成矩阵向量积：

$ToS(\vec{x}) = T(S(\vec{x})) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \vec{x}) = \mathbf{C} \vec{x}$

因此：

$\mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{A}$

证明：

$\begin{align*} \mathbf{C} &= \begin{bmatrix} \mathbf{B} (\mathbf{A} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \cdots\\ 0 \end{bmatrix}) & \mathbf{B} (\mathbf{A} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \cdots\\ 0 \end{bmatrix}) & \cdots & \mathbf{B} (\mathbf{A} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \cdots\\ 1 \end{bmatrix}) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{B} \vec{a_1} & \mathbf{B} \vec{a_2} & \cdots & \mathbf{B} \vec{a_n} \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{B} \begin{bmatrix} \vec{a_1} & \vec{a_2} & \cdots & \vec{a_n} \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{B} \mathbf{A} \end{align*}$

4. 从变换角度看矩阵乘积

假设：

$\begin{align*} & \underset{m \times n}{\mathbf{A}} \\ & \underset{n \times k}{\mathbf{B}} = \begin{bmatrix} \vec{b_1} & \vec{b_2} & \cdots & \vec{b_k} \end{bmatrix} \end{align*}$

定义矩阵乘积：

$\mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} \vec{b_1} & \mathbf{A} \vec{b_2} & \cdots & \mathbf{A} \vec{b_k} \end{bmatrix}$

此时，将矩阵乘以矩阵简化成多个矩阵向量积，矩阵向量积又可以看成向量的线性变换。我们不仅要会计算矩阵的乘积，而且要知道矩阵乘积的由来。矩阵乘积实际上对应的是两个线性变换的复合变换的变换矩阵。

5. 两个以上矩阵乘法满足结合律

假设：

$\begin{align*} & F: X \mapsto Y & F(\vec{x}) = \mathbf{A} \vec{x} \\ & G: Y \mapsto Z & G(\vec{x}) = \mathbf{B} \vec{x} \\ & H: Z \mapsto W & H(\vec{x}) = \mathbf{C} \vec{x} \end{align*}$

那么：

$\begin{align*} Ho(GoF(\vec{x})) &= H(G(F(\vec{x}))) & asume \; F(\vec{x}) = \vec{y} \\ &= H(G(\vec{y})) \\ &= HoG(\vec{y}) \\ &= (HoG)(F(\vec{x})) & asume \; (HoG) = M \\ &= M(F(\vec{x})) \\ &= MoF(\vec{x}) \\ &= (HoG)oF(\vec{x}) \end{align*}$

因此，两个以上矩阵乘法满足结合律。本质上，它们都是H(G(F(x)))

6. 矩阵乘法满足分配率

证明(矩阵向量积为线性变换)：

$\begin{align*} \underset{k \times m}{A} (\underset{m \times n}{B} + \underset{m \times n}{C}) &= A \begin{bmatrix} \vec{b_1} + \vec{c_1} & \vec{b_2} + \vec{c_2} & \cdots & \vec{b_n} + \vec{c_n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A (\vec{b_1} + \vec{c_1}) & A (\vec{b_2} + \vec{c_2}) & \cdots & A (\vec{b_n} + \vec{c_n}) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A \vec{b_1} + A \vec{c_1} & A \vec{b_2} + A \vec{c_2} & \cdots & A \vec{b_n} + A \vec{c_n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A \vec{b_1} & A \vec{b_2} & \cdots & A \vec{b_n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} A \vec{c_1} & A \vec{c_2} & \cdots & A \vec{c_n} \end{bmatrix} \\ &= A \begin{bmatrix} \vec{b_1} & \vec{b_2} & \cdots & \vec{b_n} \end{bmatrix} + A \begin{bmatrix} \vec{c_1} & \vec{c_2} & \cdots & \vec{c_n} \end{bmatrix} \\ &= AB + AC \end{align*}$