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2 复变函数与积分变换(Complex Variable Functions & Integral Transforms)
图片链接：Complex analysis | Math Wiki | Fandom
关于数学，我曾在以下这些文章提到
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今天来回顾一下所学的工程数学，希望能对大家有帮助。高等数学和线性代数的内容，大家可以参考【学习资源】机器学习相关的数学参考资料_苹果二的博客-CSDN博客
1 工程数学
工程数学是将数学应用于复杂的现实世界问题的艺术；结合数学理论、实际工程和科学计算来解决当今的技术挑战。工程数学是应用数学的一个分支，涉及工程和工业的数学方法和技术。工程数学用于处理制约因素以有效地开展工作。工程数学的领域与牛顿物理学的发展和那个时期的数学物理学密切相关。工程数学主要包括应用分析，最主要的是：微分方程；实数和复数分析（包括向量和张量分析）；近似理论（广义的，包括渐近、变异和微扰方法、表示、数值分析）；傅里叶分析；势能理论；以及分析之外的线性代数和应用概率。
现代数值计算机方法和软件的成功导致了计算数学、计算科学和计算工程的出现，高性能计算被用来模拟科学和工程中的现象和解决问题。这些通常被认为是跨学科领域，但也是工程数学致力的工作领域。
工程数学的分支包括工程优化和工程统计。高等教育中的工程数学通常由数学方法和模型课程组成。电类专业的工程数学通常包括微积分（单变量和多变量）、复数分析、微分方程、线性代数和概率等课程。傅里叶分析和Z-变换也是通常包含在电类工程数学课程中的科目。
学习工程数学可以培养工科学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力和科学计算能力等基本数学素养，以便在未来工作中充分应用数学工具。
2 复变函数与积分变换(Complex Variable Functions & Integral Transforms)
特点
是自然科学和工程技术领域所不可或缺的基础知识，有其严谨且优美的理论体系和简单与独到的应用工具，能简化计算，又能体现明确的物理意义。
内容
高等数学的理论在复数域上的推广与延申。包括复变函数的定义及性质，复变函数的导数与积分，级数，留数以及Laplace变换等内容。
意义
复变函数与积分变换理论一直伴随着科学技术的发展，从实际需要中提炼数学理论并进行研究，并反过来促进科学技术的发展。复变函数主要介绍复变数之间的相互依赖关系，复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展。积分变换是为了把较复杂的运算转化为较简单的运算所通常采取的一种积分变换手段。积分变换的理论和方法在数学以及其他自然科学和工程技术领域非常重要。
应用领域
在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。解决流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。在电气工程、通信与控制、信号分析与图像处理、机械系统、流体力学、地质勘探与地震预报等工程技术领域有广泛应用。
复变函数
复变函数理论不仅对数学领域的许多分支产生了重要的影响，而且在其他学科中得到了广泛的应用。 积分变换与复变函数一样，是在实变函数和微积分的基础上发展起来的。 积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。 包括傅里叶变换与拉普拉斯变换，两种变换与复变函数有着密切的联系。
很多平面图形能用复数形式方程简单地表示。
解析函数是复变函数研究的对象，可以解决平面向量场的问题，构造一个解析函数表示无源无旋的平面向量场，也即平面向量场的复势函数。利用复势函数可以统一地研究场的流函数和势函数，从而克服了场论中对流函数和势函数孤立研究的缺点，并且计算也较简单。研究流速场和静电场，都可以使用复势研究场的等势线和电力线的分布情况，以描绘出场的图像。
调和函数可以解决流体力学和电磁场理论等实际问题。留数可以用于计算定积分。
保角映射定理可以用来分析平行板电容器中等位线与电力线的分布情况。保角映射可以将复杂区域变成简单区域，因此可以解决物理应用中的二元实函数问题。这些函数在已知区域中调和，并且在区域的边界上满足已知条件。例如，可以求解金属板上定常的温度分布。
积分变换
积分变换，为了把较复杂的运算转换为较简单的计算而采用的变换手段。积分变换通过积分运算将一个函数变成另一个函数的变换。
傅立叶变换
傅立叶变换（后面简称傅氏变换）将信号分解成不同频率的正弦波之和，其本质是将时域数据转换为频域数据，以便于我们从频域的角度观察信号，即观察信号幅度与正弦波频率的关系，通常我们利用时域数据观察信号幅度与时间的关系。
物理现象具有脉冲性质。利用狄拉克函数及其傅氏变换可以很方便地得到工程技术上许多重要函数的变换。物理学和工程技术中有很多非周期函数，如指数衰减函数、钟形脉冲函数等。傅立叶变换和频谱概念有着非常密切的关系，无线电技术、声学和振动学的发展促进了频谱理论的发展。
傅氏变换具有线性、微分和积分等性质，可以将线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到微分方程的解。基于同样的思路，傅氏变换可以用于求解数学物理方程。
卷积计算较难，但卷积定理可以化卷积运算为乘积运算，使得卷积方法能有力地帮助线性系统分析。
拉普拉斯变换
拉氏变换是解决傅氏变换的局限性：1.满足绝对可积的条件。2.必须在整个数轴上有意义，不适用于物理和无线电技术。
在电路理论和自动控制理论通常用一个线性微分方程（满足叠加原理的一类系统）描述系统的数学模型。拉普拉斯变换用于解线性微分方程和建立线性系统的传递函数概念。
拉氏变换解微分方程的方法如下：1）取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程，2）根据代数方程求出象函数，3）然后再取逆变换就得出原来微分方程的解。
拉普拉斯变换可以简化计算RLC(电阻、电感和电容)回路电流。对二阶线性常系数非齐次微分方程取拉氏变换，可求得回路电流。
对RC串联电路，可使用一阶常系数微分方程描述。通过拉氏变换可以求得线性系统的传递函数，对传递函数取拉氏逆变换可以求得电路的脉冲响应函数。
下一篇继续写数学物理方程(Equation of Mathematics Physics)和信号处理(Signal Processing)。