符号三角形问题

问题描述

下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形使其所含的“+”和“-”的个数相同。

算法思想

分析：只要第一行的n个符号确定，那么整个木号三角形就确定了，我们可以用x[0:n-1]来表示第一行的n个符号，显然这个问题的解空间是一棵子集树.

• 解向量存储在x[0:n-1]，x[i]==1表示该分量为+，否则为-
• 约束条件是+与-的个数均不超过n(n+1)/4
• 限界函数：n(n+1)为奇数时候，不存在N（+）==N（-）的符号三角形

算法实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=100005;
bool x[maxn]={0};
int count=0,half,sum=0,n;
bool** triangle;//三角形
void backTrace(int t)
{
    if(t>n) sum++;
    else{
        for(int i=0;i<2;i++)
        {
            triangle[1][t]=i;       //第一行的符号构造
            count+=i;               
            for(int j=2;j<=t;j++)   //因第一行新增符号，产生一斜边
            {
                triangle[j][t-j+1]=triangle[j-1][t-j+1]^triangle[j-1][t-j+2];
                count+=triangle[j][t-j+1];
            }
            if((count<=half)&&(t*(t+1)/2-count<=half))//限界，+或-的个数都小于等于
                backTrace(t+1);
            //复位
            for(int j=2;j<=t;j++) count-=triangle[j][t-j+1];
            count-=i;
        }
    }
}
bool** structTriangle(int n)
{
    bool **p=new bool* [n+1];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        p[i]=new bool [n-i+2];
    return p;
}
int main()
{
    cin>>n;
    half=n*(n+1)/2;
    if(half/2==1) cout<<0<<endl;
    else
    {
        half/=2;
        triangle=structTriangle(n);
        backTrace(1);
        cout<<sum<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：计算可行性约束需要O(n)的时间，最坏情况下有O(2^n)个节点需要计算可行性约束，因此时间按复杂度为T(n)=O(n*2^n)
• 空间复杂度：S(n)=O(n*(n+1)/2)=O(n^2)