How many ways?? 矩阵

分析

这个题又是特殊的最短路问题
等等再说矩阵的问题，因为这个题的范围比较小，所以。。。可以写一个计数DP来解决。
估计看一眼代码就可以明白了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int N=1e2+10;
int dis[N][N],to[N][N];
int main(){
	int n,m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		if(n==0&&m==0)return 0;
		memset(to,0,sizeof(to));
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int a,b;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			to[a][b]=1;
		}
		int T;
		scanf("%d",&T);
		while(T--){
			int a,b,k;
			memset(dis,0,sizeof(dis));
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
			dis[0][a]=1;
			for(int x=1;x<=k;x++){
				for(int i=0;i<n;i++){
					for(int j=0;j<n;j++){
						if(to[i][j])
							dis[x][j]=(dis[x][j]+dis[x-1][i])%1000;
					}
				}
			}
			printf("%d\n",dis[k][b]);
		}
	}
}

因为时间复杂度的问题，所以这个跑起来比矩阵还要快。
但是如果把$k$的范围调大而$n$的范围不变，这样就会T，$k$是想多大就多大的，因为点可以重复经过，所以这题又被数据坑了？
矩阵的题也写过很多次了，敏感的话可以直接写出答案就是$A^k$这个矩阵中对应的点的值。
可以这么考虑，如果有$dis[i][k]=a,dis[k][j]=b,i->k,k->j$均只走了一步，那么根据分步乘法，走两步时$dis[i][j]+=dis[i][k]×dis[k][j]$，正好满足矩阵运算的规则。
之前一直没有证明矩阵快速幂的正确性，要证明这个，只需要证明它满足结合律就行。

首先我们证明 $A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$

设 $B$ 为 $n\times m$ 的矩阵， $X=A \times (B\times C) ,$ $Y=(A\times B)\times C$

则 $X_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^nA_{i,k}(B\times C)_{k,j}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^mA_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$

$Y_{i,j}=\sum\limits_{l=1}^m(A\times B)_{i,l}C_{l,j}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^mA_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$

所以 $X_{i,j}=Y_{i,j}$ ，即 $X=Y$

现在进行归纳证明，假设在 $n\leq k$ 时对 $n$ 个矩阵相乘满足结合律，证明在 $n=k+1$ 时也满足结合律

我们现在试图证明对任意顺序做乘法的 $A_1,A_2,\cdots, A_{k+1}$ ，都与 $((\cdots(((A_1\times A_2)\times A_3)\times A_4)\cdots)\times A_{k+1})$ 相等

考虑任意顺序做乘法的矩阵，找到最后一次相乘的乘号（即没有被任何一个括号包含的乘号），考虑这个乘号两边的矩阵，不妨设左边共有 $x$ 个矩阵，右边共有 $y$ 个矩阵，那么由于 0"> ，所以 $x,y\leq k$ ，所以根据归纳假设，左边可以写成 $((\cdots(((A_1\times A_2)\times A_3)\times A_4)\cdots)\times A_{x})$ ，右边可以写成 $((\cdots(((A_{k-y+2}\times A_{k-y+3})\times A_{k-y+4})\times A_{k-y+5})\cdots)\times A_{k+1})$

然后，因为我们知道了 $n=3$ 满足结合律，我们可以将 $((\cdots(((A_1\times A_2)\times A_3)\times A_4)\cdots)\times A_{x})\times ((\cdots(((A_{k-y+2}\times A_{k-y+3})\times A_{k-y+4})\times A_{k-y+5})\cdots)\times A_{k+1})$ 写成 $(((\cdots(((A_1\times A_2)\times A_3)\times A_4)\cdots)\times A_{x})\times (\cdots(((A_{k-y+2}\times A_{k-y+3})\times A_{k-y+4})\times A_{k-y+5})\cdots))\times A_{k+1}$ 的形式，然后一层一层将右侧的括号拆掉即可

所以任意顺序相乘的 $A_1,A_2,\cdots, A_{k+1}$ 都相等，等于 $((\cdots(((A_1\times A_2)\times A_3)\times A_4)\cdots)\times A_{k+1})$

现在证明出了对于 $n=k+1$ 时结合律也成立，所以对任意 $n$ ， $n$ 个矩阵相乘符合结合律。

证毕。 ~~我相信现在你对矩阵快速幂已经熟能生巧了~~

分析

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