在oCPC实践录 | 随你千变万化，oCPC PID控制（1）中我们分析了比例控制将实时误差考虑进来，具有最快的响应速度，但只有比例控制作用时，real_cpa会偏离given_cpa，产生余差，消除余差的办法就是将历史累积误差引入控制作用。
- PID控制之比例积分控制（PI)
比例积分控制作用的公式为：
k = kp * e + ki * sum(e) + k0
式中k0可以理解为初始平衡状态（此时given_cpa = real_cpa），如果广告主上调given_cpa1，此时系统产生偏差e，控制作用k增大，real_cpa变大，e变小，除了比例控制作用外，积分作用可以逐步将偏差e减小为0，此时控制作用不再变化（注意控制不是变为0）。
这里引入一个时间滞后的概念，在传统工业系统中，从控制信号发出到系统产出作用可能存在时间滞后，比如温度控制系统中控制信号发出，到加热需要一段时间。在广告系统中，时滞问题要看具体的数据处理方式（given_cpa的计算方法）。
如果当广告主改变given_cpa时，控制策略视为从稳态开始，误差积累从新开始，那么控制信号发出就立刻作用在出价上，反馈在real_cpa，时滞不是很严重，比例积分控制就行。
如果当广告主改变given_cpa时，控制策略不视为从稳态开始，误差累积包含之前的误差，这个时候控制系统的给定CPA就是广告given_cpa的转化加权值，这个就有一定的时滞，在广告主频繁改变given_cpa的情况下，比例积分控制可能就控制不过来了，甚至系统失控。
在时滞的情况下，比例积分控制作用会导致一定的超调，可以通过引入微分作用来缓解时滞问题，减少超调。
- PID控制之比例积分微分控制（PID)
如果说比例控制作用考虑当下，积分控制作用考虑过去，那微分控制作用就是考虑未来了，它是对未来误差变化的一种简单预测。当误差相比上时刻变大时，可以提前增加控制作用；当误差相比上时刻变小时，可以提前减弱控制作用。比例积分微分控制作用的公式为：
k = kp * e + ki * sum(e) + kd * delta(e) + k0
- 随你千变万化
PID控制基本原理已经介绍完成了，通过公式可以看出，控制策略没有解析系统，而是直接按照系统给定目标和真实输出的差值做调整，将系统看成一个黑盒，只看结果不看过程，具有很强的鲁棒性。
相比前文介绍的oCPC实践录 | 简单有效，oCPC逆系统控制，一个最明显的优势是PID控制会综合考虑当下，历史，未来的偏差，寻求整体最优，消除余差。但PID控制也有自身很严重的问题，（1) 调参问题，三个参数（kp, ki, kd）均没有可靠的理论将其推导计算出来，只能靠经验调整；网上有很多调参方法，一般情况下，先上比例作用，再上积分作用，再上微分作用，作用值由小到大(2) PID控制需要计算和保存偏差的各项数据，对数据的实时性要求很高，对于转化回传延迟较长的广告很难控制好。所以，如果能设计满足oCPC逆系统控制的假设，还是先使用逆系统控制比较好。
在上面公式中初始值k0我们一直没有讨论到，初始值的设定直接影响系统控制效果，如果我们把时间拉长，误差e的期望值都是0, 那么k0就是最终的控制作用。那么k0怎么计算和PID怎么实现呢？我们下篇文章讨论PID控制位置式和递推式的实现方法和注意事项，敬请关注。
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