oCPC实践录 | 简单有效，oCPC逆系统控制

在oCPC实践录 | 好难理解的oCPC成本控制算法中分析了控制策略直接设计为k=cpa_ratio是错误的。其中提到一句，是有一个k值是正确的，使得cpa_ratio=1，但这个k怎么计算呢？

做惯模型的人可能会有一个想法，既然假设系统是线性，那么是不是可以构建模型cpa_ratio = alpha * k + beta, 通过采样获得样本计算获得alpha和beta, 然后当新cpa_ratio过来时，是不是可以反解出k值呢？也就是说可以找正确的cpa_ratio与k值的关系。

这个想法思路看起来没有问题，只是忽略了一个很重要的事情：样本。如果说样本正确，那么学出来的参数肯定没有问题。但是如果样本就是错误的，参数就有问题了。而正确的样本来自哪里呢？来自正确的控制策略。因此来说，这个思路有点本末倒置。（当然如果有人能证明该算法可收敛，也没有问题，但是收敛速度怎么样呢？）

类似的，采样周期重合或者移动窗统计CPA，按照k=cpa_ratio策略也存在不收敛的情况。我们重新思考ocpc_bid = given_cpa * pcvr * k，能否找到一个算法求的k值满足成本要求呢？

我们从线性系统控制理论出发，看看能不能将被控系统准确的表达出来，然后再设计控制器呢？被控系统是广告系统，输入是bid，输出是cpa，即：

cpa = f(bid…)

如果我们能获取f对bid的反函数，即bid = f’(cpa…), 那么我们就可以根据given_cpa反解出ocpc_bid。这个思路就是控制理论中的逆系统控制，再向下延伸有内模控制等。

接下来我们推导二价拍卖下广告系统的数学模型，一段时间内广告的

cpa = charge / cv

= (charge / click) * (click /cv)

= acp / cvr

= (acb * jfb) / (pcvr / pcoc)

其中charge为消费，cv为转化数，click为点击数，acp为平均点击消费，cvr为真实转化率，acb为平均点击出价，jfb为平均点击消费与平均点击出价之比，pcvr为预测转化率，pcoc为预测转化率与真实转化率之比。通过上式，我们推导出

cpa = f(bid…) = (acb * jfb) / (pcvr / pcoc)

那么对bid的反函数为 acb = cpa * pcvr / jfb / pcoc，也就是说如果在该段时间内，当acb=given_cpa * pcvr / jfb / pcoc时，广告系统的真实输出real_cpa = given_cpa。

在下一个时刻，我们假设广告转化与预测稳定（pcoc稳定）和广告系统稳定（jfb稳定），那么ocpc的出价为

ocpc_bid=given_cpa * pcvr / jfb / pcoc

即矫正参数

k= 1 / (jfb * pcoc)

时，可保证real_cpa=given_cpa，该控制策略就是逆系统控制。

控制策略 k= 1 / (jfb * pcoc)十分简单，只用统计过去一段时间的jfb和pcoc即可完成检索级别的成本控制，如果能够提高这两个参数计算的时效性，成本控制效果会很好，对于oCPC产品初期，使用这个控制策略已经完全足够了。

这是基于模型的控制策略，如果建模对象发生变化，但模型没有更新，系统控制效果会变差，甚至失控。在oCPC逆系统控制中有三个重要假设：（1）模型是线性的（2）广告的pcoc稳定，也就是说模型能够识别广告转化率的变化（3）广告的计费比要稳定。但这些假设不一定完全符合，导致广告超成本和成本不足的情况不能挽回。

可以看出基于模型的控制，系统以最快的速度跟上given_cpa，适用于given_cpa频繁变化的广告系统，简单有效，追求检索级别的成本控制。但模型存在较为严格的假设，导致策略不会去考虑系统过去的成本情况，导致平台损失，参数的时效性和置信度需要做出平衡，保证效果。

基于模型控制的算法有很多，暂时不做深入研究。下篇文章我们来介绍无模型控制算法，也是最经典的控制算法PID算法，敬请关注。

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