洛谷P1070道路游戏题解--zhengjun

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思路

首先，这道题一定是个 $dp$，因为题中说一旦机器人走到头了，就要立刻在其他任意的一个机器人工厂买。

一开始弄得 $f_{i,j}$是到了第 $i$个工厂，用了 $j$个时间，机器人已经走到头了的最大金币数，然后一想，似乎不需要前面这一个维度，(我要你有何用)，反正下一次都可以在任意的地方干嘛还要这样嘛。

所以就用 $f_i$表示用了 $i$个时间，机器人已经走到头了的最大金币数，转移公式就是：

$f_i=\max\{f_{i-k}+sum(i,j,k)-a_{j-k}\},sum$就是在 $j$分钟时从 $i$个工厂开始向后走 $k$个工厂路上可以得到的价值。

然后，就在想怎么求这个奇怪的 $sum$，呦吼，前缀和是个好东西，用前缀和表示，现在用了 $j$分钟走到了 $i$个工厂所得到的金币数，那么，不就可以递推求解了吗？这里要注意一下是个环，我习惯 $1$开头了，改不掉。

所以，先用 $t$数组存下每条道路每个时间的金币数

$sum_{i,j}=sum_{last_i,j-1}+t_{last_i,j}$

这个 $last$因为我是从 $1$开始的，所以有点麻烦。

因为最后要从 $1$开始，所以最后取模完要加一个 $1$，那么，在取模之前就要减一个 $1$，然后就是这样 $last_i=(i-1-1+n)\bmod n+1$

如果要从 $i$号点开始，往前 $k$个点，就是 $((i-k-1)\bmod n+n)\bmod n$

好了，复杂度 $O(n^3)$，有点勉强

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m,p;
int a[1001];
int t[1001][1001];
int sum[1001][1001];
int f[1001]; 
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++){
    		scanf("%d",&t[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int j=1;j<=m;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			sum[i][j]=sum[(i-1-1+n)%n+1][j-1]+t[(i-1-1+n)%n+1][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		f[i]=-0x3fffffff;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=p&&k<=i;k++){
				int last=((j-k-1)%n+n)%n+1;
				f[i]=max(f[i],f[i-k]+sum[j][i]-sum[last][i-k]-a[last]);
			}
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

然后，发现刚才那个式子其实就是(为了看得清楚，环先不考虑)：

$f_i=\max\{f_{i-k}+sum_{j,i}-sum_{j-k,i-k}-a_{j-k}\}$

$=\max\{f_{i-k}-sum_{j-k,i-k}-a_{j-k}\}+sum_{j,i}$

这一坨 $-k\cdots$，发现好像可以用队列维护。

用 $q_{i,j}$维护 $f_{i}-sum_{j,i}-a_{j}$，然后复杂度就成了 $O(n^2)$，终于没了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m,p;
int a[1001];
int t[1001][1001];
int sum[1001][1001];
int f[1001];
int q[1001][1001],k[1001][1001],head[1001],tail[1001];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    		scanf("%d",&t[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		q[i][0]=-a[i];
	}
	for(int j=1;j<=m;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			sum[i][j]=sum[(i-1-1+n)%n+1][j-1]+t[(i-1-1+n)%n+1][j];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		f[i]=-0x3fffffff;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int l=((j-i-1)%n+n)%n+1;
			while(head[l]<=tail[l]&&k[l][head[l]]+p<i)head[l]++;
			if(head[l]<=tail[l])f[i]=max(f[i],q[l][head[l]]+sum[j][i]);
		}//这部分是找到最佳的一个k,然后下面是更新序列,注意千万不能并在一起，因为f[i]还没有更新完
		for(int j=1;j<=n;j++){
			int l=((j-i-1)%n+n)%n+1;
            int x=f[i]-sum[j][i]-a[j];
            while(head[l]<=tail[l]&&q[l][tail[l]]<=x)tail[l]--;
            k[l][++tail[l]]=i;
            q[l][tail[l]]=x;
		}
	}
	printf("%d",f[m]);
	return 0;
}

谢谢–zhengjun