LeetCode 1227. 飞机座位分配概率（DP+数学归纳法）

1. 题目

有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。

剩下的乘客将会：

• 如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上，

• 当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位

第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

示例 1：
输入：n = 1
输出：1.00000
解释：第一个人只会坐在自己的位置上。

示例 2：
输入: n = 2
输出: 0.50000
解释：在第一个人选好座位坐下后，第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。
 
提示：
1 <= n <= 10^5

来源：力扣（LeetCode）
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2. 解题

1个人，1
2个人，0.5
n个人，分情况讨论，假设n个座位最后一个人坐自己的座位的概率为 $f(n)$

• 1、第一个人在自己位置，最后一个人在自己位置概率概率： $\frac{1}{n}*1$
• 2、第一个人在最后一个人的位置，最后一个人在自己位置概率概率： $\frac{1}{n}*0$
• 3、第一个人在 2~n-1 号位置，最后一个人在自己位置概率概率： $\frac{n-2}{n}*f(n-1)$
• 所以加起来， $f(n) = \frac{1}{n}+\frac{n-2}{n}*f(n-1)$
• 数学归纳法证明， $f(n)=0.5,n\ge 2$
• $f(n+1) = \frac{1}{n+1}+\frac{n+1-2}{n+1}*f(n) = \frac{1}{n+1}+\frac{n+1-2}{n+1}*\frac{1}{2}=\frac{2+n+1-2}{2*(n+1)}=\frac{1}{2}$,得证

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• 不用数学归纳法，可以由 $f(n) = \frac{1}{n}+\frac{n-2}{n}*f(n-1)$
• 容易得到 $nf(n) + \sum\limits_{i = 1}^{n-1}f(i) = n$

class Solution {
public:
    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
        double fn = 1.0, sum_f_i = 1.0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            fn = 1 - sum_f_i/i;
            sum_f_i += fn;
        }
        return fn;
    }
};

24 ms 6 MB

class Solution {
public:
    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
        return n==1 ? 1.0 : 0.5;
    }
};

0 ms 5.8 MB