【Leetcode】1227. Airplane Seat Assignment Probability（配数学证明）

题目地址：

https://leetcode.com/problems/airplane-seat-assignment-probability/

有$n$个位置，$n\ge 1$，来了$n$个人，每个人被分配了一个位置。第一个人忘了自己的位置，所以随机挑选了一个位置坐下了。接下来的人会按照如下规则坐位置：
1、如果自己的位置没有被占，则坐上去；
2、如果被占了，则随机找一个别的空位坐下（每个空位概率相等）。
问第$n$个人坐在自己的位置上的概率。

如果只有一个人，答案显然是$1$。考虑$n\ge 2$的情形。设$P(n)$是$n$个人的情况下第$n$个人坐在自己的位置上的概率。不妨设第$i$个人的专属的位置就是$i$号位置。那么$P(n)$可以分为两部分，如果一开始疯子就去了$1$号位，那么第$n$个人一定能坐在自己的位置上；否则的话，如果疯子坐到了$2$号位，那么就成了同样的问题问对$n-1$个人，第$n-1$个人是否能就位，概率是$P(n-1)$；如果疯子坐到了$3$号位，那么第$2$个人可以就坐，而从第$3$个人开始，问题就变为对$n-2$个人的相同问题，概率是$P(n-2)$，以此类推。所以有：$$P(n)=\frac{1}{n}(1+P(n-1)+P(n-2)+...+P(2))$$所以：$$(n+1)P(n)=(n+1)P(n+1),P(n)=P(n+1)$$所以$P(n)=P(2)=0.5$。代码如下：

public class Solution {
    
    
    public double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
    
    
        return n == 1 ? 1 : 0.5;
    }
}

时空复杂度$O(1)$。