简单数学

博主整理了一下$OI$中简单的数论知识，故取名简单数学，以后会随着学习的深入慢慢扩展开来。

以下的代码部分没经过验证，可能一定会出锅

质数

质数的判定

顾名思义就是判定某一个数是不是质数

试除法

一个结论：

若一个正整数$N$为合数，那么一定存在一个正整数$T$能够整除$N$,且$2\le N \le \sqrt{N}$

该结论可以通过反证法证明，这里不再赘述~~（直接背过他不香吗？）~~

bool judge_prime(int N){
    for(int i=2;i*i<=N;++i)
        if(N%i==0) return 0;
    return 1;
}

容易看出复杂度为$O(\sqrt{N})$

质数的筛选

顾名思义就是晒出出$1\backsim N$中的质数

Eratosthenes筛法

核心思想就是质数的倍数是合数，具体不再赘述

void primes(int n){
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(v[i]) continue;
        prime[++cnt]=i;//i是质数
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i) v[j]=1;
	}
}

复杂度为$O(\sum_{质数p\le \frac{N}{p}})=O(N\ \log \log N)$

线性筛法

核心思想就是通过“从小到大积累质因子”的方式来标记合数，以此来避免$Eratosthenes$筛法重复标记合数的问题

具体实现原理简单来说就是：每个合数$i*p$只会被它的最小质因子筛一次

void primes(int n){
	memset(v,0,sizeof(v));//最小质因子
    cnt=0;//质数的数量
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(v[i]==0) {prime[++cnt]=i;v[i]=i;}
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break;
            v[i*prime[j]]=1;
        }
    }
}

复杂度为$O(N)$~~我一般都是用埃氏筛~~

算术基本定理

任何一个大于$1$的正整数都能被唯一分解为有限个质数的乘积的形式，写作：

\[N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m} \]

其中$c_i\in\N^+$,$p_i$都是质数，且满足$p_1<p_2<...<p_m$

试除法分解质因数

就是结合一下埃氏筛和试除法

void divide(int n)
{
    cnt=0;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p[++cnt]=i;c[cnt]=0;
            while(n%i==0) n/=i,c[cnt]++;
		}
    }
    if(n>1) p[++cnt]=n,c[cnt]=1;
}

复杂度为$O(\sqrt{N})$

约数

算术基本定理的推论

如果一个正整数被分解成了$N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$这种形式，则$N$的正约数集合可以写作

$p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_m^{b_m}$其中$0\le b_i \le c_i$

约数个数

$N$的正约数个数为$\prod\limits_{i=1}^m(c_i+1)$

约数和

$N$的所有正约数和为$\prod\limits_{i=1}^m(\sum\limits_{j=0}^{c_i}(p_i)^j)$

求$N$的正约数集合

试除法

核心就是利用约数总是成对出现（除了对于完全平方数，$\sqrt{N}$会单独出现）

for(int i=1;i*i<=N;++i)
{
    if(n%i==0)
    {
        d[++cnt]=i;
        if(i!=n/i) d[++cnt]=n/i;
	}
}

复杂度为$O(\sqrt{N})$

试除法的推论

一个正整数的约数个数上界为$2\sqrt{N}$

倍数法

求$1\backsim N$中每个数的正约数集合

核心思路就是对于每个约数$d$,以它为约数的正整数为$d,2d,3d...\left\lfloor\dfrac{N}{d}\right\rfloor*d$

for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n/i;++j)
        f[i*j].push_back(i);

复杂度为$O(N+\frac{N}{2}+\frac{N}{3}...+\frac{N}{N})=O(N\log N)$

倍数法推论

$1\backsim N$中每个数的约数个数的总和大约为$N \log N$

最大公约数

定理

$\forall a,b\in \N \ \ \ \gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b$

更相减损法

$\forall a,b\in \N,a\ge b \ \ \ \ \gcd(a,b)=\gcd(b,a-b)=\gcd(a,a-b)$

$\forall a,b\in \N \ \ \ \gcd(2a,2b)=\gcd(a,b)$

如果需要高精度计算时，高精度除法（取模）很恶心人，可以用更相减损法来替代欧几里得算法

欧几里得法

$\forall a,b\in \N \ \ \ \gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b)
}

互质与欧拉函数

欧拉函数

定义

$1\backsim N$中与$N$互质的数的个数，记为$\varphi(N)$

$\varphi(N)=N*\prod\limits_{质数p|N}(1-\frac{1}{N}) $

积性函数

如果$a,b$互质时，有$f(ab)=f(a)*f(b)$,那么函数$f$就是积性函数

积性函数的性质

若$f$是积性函数，且在算术基本定理中$n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}$则$f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})$

欧拉函数基本性质

$\forall\ n>1,1\backsim n$中与$n$互质的数的和为$n*\varphi(n)/2$
若$a,b$互质，则$\varphi(ab)=\varphi(a)*\varphi(b)$（积性函数的性质）
设$p$是质数，若$p\mid n$且$p^2\mid n$,则$\varphi(n)=\varphi(n/p)*p$
设$p$是质数，若$p\mid n$但是$p^2 \nmid n$则$\varphi(n/p)*(p-1)$
$\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$

质数