DP刷题记录

dp刷题记录

codeforces 706C

题意：给出n个字符串，可以对每个字符串进行翻转操作，
每个操作对应一个消耗c[i],问经过操作后是否能满足字符串str[i]>=str[[i-1]，能输出最小花费，不能输出-1

dp [i] [0]表示前i个字符串已经排好，最后一个字符串没翻转，dp[i] [1]表示前i个字符串已经排好，最后一个字符串翻转

边界：
$dp[1][0]=0; dp[1][1]=c[1];$
方程:
$方程= \begin{cases} dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][0]),\quad str[i] >= str[i - 1]\\ dp[i][0]=min(dp[i][0],dp[i-1][1]),\quad str[i] >= restr[i-1]\\ dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][0]+c[i]),\quad restr[i]>=str[i-1]\\ dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][1]+c[i]),\quad restr[i]>=restr[i-1]\\ \end{cases} \\$
结果：
$min(dp[n][0], dp[n][1])$

codeforces 940E

题意：给你一个长度为n的序列和一个数c，你可以将序列划分成很多段，若其子序列的长度为k，那么就删除其中[k/c]（向下取整）小的值，问你这些子序列最小的和是多少

dp[i]表示前i个数可以删掉的最大和
$dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-c]+min(a[k]))\quad i-c<k<=i$
单调队列优化，将O(n^2)优化为O(nlogn)

其中单调队列处理的是前c个数字中的最小的数

目标：
$sum-dp[n]$

BZOJ3997

题意：给我一个网格图，每次只能往下走或者往右走，经过每个格子是只能拿走一块财宝，问走多少次可以将财宝减完

Dilworth定理：DAG的最小链覆盖=最大点独立集
最小链覆盖指选出最少的链(可以重复)使得每个点都在至少一条链中
最大点独立集指最大的集合使集合中任意两点不可达

需要补充图论知识

将每一个财宝抽象成一个点，这就变成了一个有向无环图的最小路径覆盖

对于这类问题，我们知道最长反链=最小路径覆盖，所以求出这张图的最长反链就可以了。

对于一个点，它的左上角是可以到达的，但是右上角不能，所以用f[i][j] 表示以i,j为左下角的矩形的最长反链，则
$f[i][j]=max(f[i][j+1],f[i-1][j],f[i-1][j+1]+a[i][j]).$

POJ2279

题意：有n个学生合影，站成左端对齐的k排，每排有ai个人，第一排站最后面，第k排站最前面，学生的身高互不相同，把他们的身高依次标记为1到n，要求合影时每一排从左到右身高递减、每一列从后到前身高也递减，问一共有多少种合影方案

杨氏矩阵又叫杨氏图表，它是这样一个矩阵，满足条件：

(1)如果格子(i,j)没有元素，则它右边和上边的相邻格子也一定没有元素。

(2)如果格子(i,j)有元素a[i][j]，则它右边和上边的相邻格子要么没有元素，要么有元素且比a[i][j]大。

1 ~ n所组成杨氏矩阵的个数可以通过下面的递推式得到

$F(1)=1,F(2)=2 F(n)=F(n-1)+(n-2)*F(n-2),(n>2)\\ 对于给定形状，不同的杨氏矩阵的个数为：n！除以每个格子的钩子长度加1的积。 \\其中钩子长度定义为该格子 右边的格子数和它上边的格子数之和。\\ 钩子公式：res=n! / (hock[1]*hock[2]*.....hock[n]);$

$dp[i][j][k][p][q]表示各排从左端起分别站了i，j，k，p，q个人时合影的方案数量\\ 边界：dp[0][0][0][0][0]=1\\ 转移： 方程=\begin{cases} dp[i + 1][j][k][p][q] += dp[i][j][k][p][q];\quad i + 1 <= a[1]\\\\ dp[i][j + 1][k][p][q] += dp[i][j][k][p][q];\quad j + 1 <= a[2] && j < i\\\\ dp[i][j][k + 1][p][q] += dp[i][j][k][p][q];\quad k + 1 <= a[3] && k < j && k < i\\\\ dp[i][j][k][p + 1][q] += dp[i][j][k][p][q];\quad p + 1 <= a[4] && p < i && p < j && p < k\\\\ dp[i][j][k][p][q + 1] += dp[i][j][k][p][q];\quad q + 1 <= a[5] && q < i && q < j && q < k && q < p\\\\ \end{cases}$

GYM102082D

SCNS(最短非公共子序列模板题)

最短非公共子序列：给你两个序列，求出不属于这两个序列的最短的子序列

解法：求出每个序列的每个位置后的第一个0，1的位置
$dp[i][j][0/1]表示，在第一个序列的x位置和在第二个序列的y位置后，填上0/1是否满足非公共子序列$
待补！！！！

codeforces132C

给一个序列，有TF，F代表机器人向前走一步，
T代表机器人转身，再给你一个N问改变N个字母后机器人最多可以走多远，
每个字母可以改变多次
$dp[i][j][k][2]表示前i个字母，改变了j次，当前停留在k位置，方向为0/1时的状态是否存在\\ 边界：dp[0][0][len][1]=1;\\ \\ 方程=\begin{cases} dp[i][j][k][!d]=1;\quad s[i]=='T'\\ dp[i][j][k+1][d]=1;\quad s[i]=='F',d==1\\ dp[i][j][k-1][d]=1;\quad s[i]=='F',d==0\\ dp[i][j+1][k][!d]=1;\quad j<n,s[i]='F'\\ dp[i][j+1][k+1][d]=1;\quad j<n,s[i]='T',d==1\\ dp[i][j+1][k-1][d]=1;\quad j<n,s[i]='T',d==0\\ \end{cases}$