单射和满射
一个问题:满单射和原像
设\(f:A \to B,A_0 \sub A\) 和$ B_0 \sub B$.
$(a) $
证明:\(A_0 \sub f^{-1}(f(A_0))\) , 并且当\(f\) 为单射,式子中关系可替换为等号.
\((b)\)
证明:$f(f^{-1}(B_0)) \sub B_0 $ , 并且当\(f\)为满射 ,式子中关系可替换为等号.
补充:原像的定义
证明
\((a)\)
\(f^{-1}(f(A_0)) = \{a|f(a) \in f(A_0)\}\) ,
若\(x \in A_0\) 有\(f(x) \in f(A_0)\),
则$x \in f^{-1}(f(A_0)) $,
\(A_0 \sub f^{-1}(f(A_0))\)得证.(我总觉得能写的更好一些)
若为单射
对\(x \in f^{-1}(f(A_0))\),\(f(x) \in f(A_0)\),
则存在 \(y \in A_0\),
\(s.t.\)
$ f(y) = f(x) \in f(A_0)$
因为为单射,所以 \(x = y \in A_0\),
结合上一个证明,等式成立.
\((b)\)
\(x \in f(f^{-1}(B_0))\)
存在$ y \in f^{-1}(B_0)$ , \(f(y) = x\)
因为 \(y \in f^{-1}(B_0)\)
所以 \(x = f(y) \in f(B_0)\)得证.
若为满射
for \(x \in B_0\) ,
\(\exist y \in f^{-1}(B_0)\) ,(满射的定义,关键所在,ps:我这里想写\(f^{-1}(x)\),发现还少了一个单射的条件)
\(s.t.\)
\(f(y) = x\)
又
\(f(y) \in f(f^{-1}(B_0))\)
\(x \in f(f^{-1}(B_0))\)
结合上一个证明,等式成立.