蓝桥杯 算法训练 K好数(DP详细解释)

问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式
输入包含两个正整数，K和L。

输出格式
输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

7

数据规模与约定
对于30%的数据，KL <= 106；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。
解题思路：本题是并不复杂的动态规划题目。dp[i][j]表示i位的K进制数最高位为j时的K好数个数。通过以下表格对动态规划过程进行分析。

i \ j	0	1	2	3
1	1	1	1	1
2	3	2	2	3
3	8	5	5	8

如上述表格所示,i为行表示当前是i位数,j为列表示当前的最高位数字。第一行当只有1位时dp[1][j]都为1。接下来对i为2进行分析，当j为0，即最高位为0，那么前一位不能与他相邻所以前一位只能为0,2,3。我们将i = 0,j = 0,2,3时候的dp数组值相加即可得到dp[2][0]的值。同理我们可以分析下面的各个数位值。接下来是代码的分析，我们分析需要多少个循环，首先是数字的位数从2–L，其次最高位从0–K-1循环，之后我们要讲上一层符合条件的值相加。所以是三层循环。结果我们只需要将第L层相加即可，注意最高位不能为0。代码如下：

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
const int mod = 1000000007;
int main(void){
	int K,L;
	int dp[110][110] = {0};
	scanf("%d %d",&K,&L);
	for(int i = 0;i < K;i++){
		dp[1][i] = 1;   //表示最高位是i的1位K好数都是1个 
	}
	for(int i = 2;i <= L;i++){   //从2位K进制数到L位 
		for(int j = 0;j < K;j++){//最高位可以从0-K 
			for(int l = 0;l < K;l++){//对上一层数据进行判断(i-1位时的数据)
				if(abs(j-l)!=1){
					dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-1][l]) % mod;
				}
			}
		}	
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1;i < K;i++){
		ans = (ans + dp[L][i]) % mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}