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5.1 简单数学
问题 A: 守形数
题目描述
守形数是这样一种整数，它的平方的低位部分等于它本身。
比如25的平方是625，低位部分是25，因此25是一个守形数。
编一个程序，判断N是否为守形数。
输入
输入包括1个整数N，2<=N<100。
输出
可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出"Yes!”表示N是守形数。
输出"No!”表示N不是守形数。
样例输入
6
11
样例输出
Yes!
No!
思路
思路就是把输入的数进行平方操作之后，利用sprintf把所得的数暂存在一个char数组中作为一个字符串，然后从字符串的中间位置（strlen(str)-原来数的位数）开始遍历一直到末尾，再把这一段的字符串截取出来放在一个新的char数组中，用sscanf转化成整数看跟原数是否相等，如果相等，则是守形数，否则，不是。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
char str1[3]={0};//存储原数
char str2[5]={0};//存储平方后的数
char temp[5]={0};//用于存放截取后的字符串
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
sprintf(str1, "%d", n);
int len = strlen(str1);//计算原数的位数
int strr = pow(n,2);
sprintf(str2, "%d", strr);
int index = 0;
for(int i=strlen(str2)-len;i<strlen(str2);i++){
temp[index] = str2[i];
index++;
}
int tmp;//将截出来的字符串转换成整数
sscanf(temp, "%d", &tmp);
if(tmp==n) printf("Yes!\n");
else printf("No!\n");
memset(str1, 0, sizeof(str1));
memset(str2, 0, sizeof(str2));
memset(temp, 0, sizeof(temp));
}
return 0;
}
问题 B: 反序数
题目描述
设N是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：1234的反序数是4321）
求N的值
输入
程序无任何输入数据。
输出
输出题目要求的四位数，如果结果有多组，则每组结果之间以回车隔开。
思路
首先，要解决的问题是如何将一个四位数反序，我认为这类问题的话，肯定是把整数转换成字符串来操作要方便，比如我要判断1234，那就把1234转换成字符串，然后从末尾开始遍历，将每一位放在一个新的字符数组中，最后将新的字符数组转换成整数，这样就得到了一个反序数。
然后，再根据约束条件，如果反序数恰好等于原数的9倍，那就输出，否则，就不输出。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int MyReverse(int a){
char str1[5]={0};
char str2[5]={0};
sprintf(str1, "%d", a);//把a转化成字符串str1
for(int i=strlen(str1)-1, j=0;i>=0, j<strlen(str1);i--, j++) str2[j] = str1[i];//从末尾遍历,依次将字符赋给新字符串str2
int b;
sscanf(str2, "%d", &b);//把反序后的字符串str2转化成整数b
return b;
}
int main(){
int cnt = 0;
for(int i=1000;i<10000;i++){
if(i*9==MyReverse(i)){
cnt++;
if(cnt==1) printf("%d", i);
else printf(" %d", i);
}
}
return 0;
}
问题 C: 百鸡问题
题目描述
用小于等于n元去买100只鸡，大鸡5元/只，小鸡3元/只,还有1/3元每只的一种小鸡，分别记为x只,y只,z只。编程求解x,y,z所有可能解。
输入
测试数据有多组，输入n。
输出
对于每组输入,请输出x,y,z所有可行解，按照x，y，z依次增大的顺序输出。
样例输入
45
样例输出
x=0,y=0,z=100
x=0,y=1,z=99
x=0,y=2,z=98
x=0,y=3,z=97
x=0,y=4,z=96
x=1,y=0,z=99
x=1,y=1,z=98
x=1,y=2,z=97
x=2,y=0,z=98
思路
这题之前学Python的时候用Python来实现过了（百钱白鸡问题），只不过这里是n元，不是100元，思路还是一样的，按照题目要求添加约束条件就行了，要注意的是C/C++中int型的除法是整除，而Python中int型的除法是一定精确的（比如1/2=0.5），所以这题最好都设成double型。
需要注意的是，如果想表达1/3=0.333的话，在C语言里要写成1.0/3（浮点型除以整型，结果会转化成浮点型）。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
double n;
while(scanf("%lf", &n) != EOF){
double x, y, z;
for(x=0;x<=n/5;x++){
for(y=0;y<=n/3;y++){
for(z=0;z<=n*3;z++){
//如果正好是一百只鸡,且花费小于n
if(x+y+z==100&&x*5+y*3+1.0/3*z<=n) printf("x=%.0f,y=%.0f,z=%.0f\n", x, y, z);
}
}
}
}
return 0;
}
问题 D: abc
题目描述
设a、b、c均是0到9之间的数字，abc、bcc是两个三位数，且有：abc+bcc=532。求满足条件的所有a、b、c的值。
输入
题目没有任何输入。
输出
请输出所有满足题目条件的a、b、c的值。
a、b、c之间用空格隔开。
每个输出占一行。
思路
由题意可知，abc、bcc是两个三位数，而且相加要等于532，那么思路肯定还是遍历所有三位数，然后把abc转化成bcc，再观察两者相加是否等于532，如果是，就输出a、b、c的值，如果不是，就继续遍历。
那么怎么把abc转化成bcc呢，当然还是用字符串操作啦，看代码吧！
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int TransForm(int a){
char str1[4]={0};
char str2[4]={0};
sprintf(str1, "%d", a);//把a转化成字符串str1
str2[0] = str1[1];//b
str2[1] = str1[2];//c
str2[2] = str1[2];//c
int b;
sscanf(str2, "%d", &b);//把字符串str2转化成整数b
return b;
}
int main(){
for(int i=100;i<1000;i++){
if(i+TransForm(i)==532){
char tmp[4]={0};
sprintf(tmp, "%d", i);
printf("%c %c %c\n", tmp[0], tmp[1], tmp[2]);
}
}
return 0;
}
问题 E: 众数
题目描述
输入20个数，每个数都在1-10之间，求1-10中的众数（众数就是出现次数最多的数，如果存在一样多次数的众数，则输出权值较小的那一个）。
输入
测试数据有多组，每组输入20个1-10之间的数。
输出
对于每组输入,请输出1-10中的众数。
注意如果存在一样多次数的众数，则输出权值较小的那一个。
样例输入
8 9 6 4 6 3 10 4 7 4 2 9 1 6 5 6 2 2 3 8
样例输出
6
思路
这题很明显建立一个散列表来做就很简单了，下标对应数，内容对应出现的次数。然后遍历散列表，把出现次数最多的下标输出，这里不用考虑次数一样多取权值较小的问题，因为下标本来就是从小到大有序，我们从头开始遍历找最大值，就不存在这个问题了。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int tmp[21]={0};
int hashtable[11]={0};
int main(){
while(scanf("%d", &tmp[1]) != EOF){
hashtable[tmp[1]]++;
for(int i=2;i<=20;i++){
scanf("%d", &tmp[i]);
hashtable[tmp[i]]++;
}
int max = -1, maxi = -1;
for(int i=1;i<=10;i++){
if(hashtable[i]>max){
max = hashtable[i];
maxi = i;
}
}
printf("%d\n", maxi);//散列表的下标就是原来的数
memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
memset(hashtable, 0, sizeof(hashtable));
}
return 0;
}
问题 F: 计算两个矩阵的乘积
题目描述
计算两个矩阵的乘积，第一个是23矩阵，第二个是32矩阵，结果为一个22矩阵。
输入
输入包含多组数据，先输入一个23矩阵，再输入一个3*2矩阵。
输出
输出两个矩阵的乘积。
样例输入
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
样例输出
3 3
3 3
思路
这题只要知道矩阵乘积怎么算就能做出来，这是线性代数的内容，应该是矩阵每一行的元素乘另一个矩阵每一列元素。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int matrix1[2][3];
int matrix2[3][2];
int result[2][2];
int main(){
while(scanf("%d", &matrix1[0][0]) != EOF){
for(int i=1;i<3;i++) scanf("%d", &matrix1[0][i]);
for(int i=0;i<3;i++) scanf("%d", &matrix1[1][i]);
for(int i=0;i<3;i++){
for(int j=0;j<2;j++) scanf("%d", &matrix2[i][j]);
}
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<2;j++){
for(int k=0;k<3;k++){
result[i][j] += matrix1[i][k]*matrix2[k][j];
//乘积C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和
}
}
}
for(int i=0;i<2;i++){
for(int j=0;j<2;j++){
if(j==0) printf("%d", result[i][j]);
else printf(" %d", result[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(int i=0;i<2;i++) memset(matrix1, 0, sizeof(matrix1));
for(int i=0;i<3;i++) memset(matrix2, 0, sizeof(matrix2));
for(int i=0;i<2;i++) memset(result, 0, sizeof(result));
}
return 0;
}
问题 G: 加法等式
题目描述
设a、b、c 均是0 到9 之间的数字，abc、bcc 是两个三位数，且有：abc+bcc=532。求
满足条件的所有a、b、c 的值。
输入
无。
输出
每行输出3个数，分别表示abc的值，用一个空格隔开。
样例输入
无
样例输出
无
思路
这题和问题D：abc一模一样，这里就不多说了。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int TransForm(int a){
char str1[4]={0};
char str2[4]={0};
sprintf(str1, "%d", a);
str2[0] = str1[1];
str2[1] = str1[2];
str2[2] = str1[2];
int b;
sscanf(str2, "%d", &b);
return b;
}
int main(){
for(int i=100;i<1000;i++){
if(i+TransForm(i)==532){
char tmp[4]={0};
sprintf(tmp, "%d", i);
printf("%c %c %c\n", tmp[0], tmp[1], tmp[2]);
}
}
return 0;
}
问题 H: 整数和
题目描述
编写程序，读入一个整数N。若N为非负数，则计算N 到2N 之间的整数和；若N为一个负数，则求2N 到N 之间的整数和。
输入
第一行表示样例数m，接下来m行每行一个整数N，N的绝对值不超过100。
输出
输出m行，每行表示对应的题目所求。
样例输入
2
2
-1
样例输出
9
-3
提示
注意N可能为负数
思路
这题也是直接按着题目来操作就行了，注意要把非负数和负数的计算方法区分开来就行。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int Sum(int a){
if(a>=0){
int sum = 0;
for(int i=a;i<=2*a;i++) sum += i;
return sum;
}
else{
int sum = 0;
for(int i=2*a;i<=a;i++) sum += i;
return sum;
}
}
int main(){
int m;
while(scanf("%d", &m) != EOF){
while(m--){
int tmp;
scanf("%d", &tmp);
printf("%d\n", Sum(tmp));
}
}
return 0;
}
问题 I: 反序相等
题目描述
设N是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：1234 的反序数是4321），求N的值。
输入
无
输出
每行一个数，表示满足题目要求的数。
思路
这题和问题B：反序数也一模一样，这里不多说了（不知道这题为啥是正确0，看了记录在17年也有正确100的）。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int Reverse(int a){
char str1[5]={0};
char str2[5]={0};
sprintf(str1, "%d", a);
int index = 0;
for(int i=strlen(str1)-1;i>=0;i--) str2[index++] = str1[i];
int b;
sscanf(str2, "%d", &b);
return b;
}
int main(){
for(int i=1000;i<10000;i++){
if(i*9==Reverse(i)) printf("%d\n", i);
}
return 0;
}
问题 J: 多项式的值
题目描述
实现一个多项式的类（a+bx+cx2+d*x3+…+），要求输入该多项式的系数和x
的值后打印出这个多项式的值。
输入
输入第一行为样例数m，对于每个样例，第一行为多项式最高项次数n，接下来n+1个整数表示每项系数，最后一个整数x，n不超过10。
输出
输出m行，表示个多项式代入x后的值。
样例输入
1
2
1 2 3
2
样例输出
17
思路
首先要读懂这题的题意，按题目意思来说，是不存在非零项的，比如样例给出的最高项指数是2，并给出系数1、2、3，那么多项式就是1*x0+2*x1+3*x2，然后最后把2代入进去算结果。
那么我的思路就是，建立一个散列表，下标是指数，内容是系数（当然，这么做只适用于小范围指数连续的存储，如果是x1+x2000，那就会造成大量的空间浪费，这个时候就需要用结构数组或者链表来存储），这样就很好做这题了。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int hashtable[11]={0};
int main(){
int m;
while(scanf("%d", &m) != EOF){
while(m--){
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i=0;i<n+1;i++) scanf("%d", &hashtable[i]);
int x;
scanf("%d", &x);
int sum = 0;
for(int i=0;i<n+1;i++) sum += hashtable[i]*pow(x,i);
printf("%d\n", sum);
memset(hashtable, 0, sizeof(hashtable));
}
}
return 0;
}
问题 K: 迭代求立方根
题目描述
立方根的逼近迭代方程是 y(n+1) = y(n)2/3 + x/(3y(n)*y(n)),其中y0=x.求给定的x经过n次迭代后立方根的值。
输入
输入有多组数据。
每组一行，输入x n。
输出
迭代n次后的立方根，double精度,保留小数点后面六位。
样例输入
4654684 1
65461 23
样例输出
3103122.666667
40.302088
思路
这题首先的思路是用递归来写，因为题目里直接给出了递归式和递归边界，但是后来发现当迭代23次的时候，递归会爆栈，根本无法出结果，于是这题只能用循环来写……
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
double y(double n, double x){//对x迭代n次
double sum = x;//y(0)=x
for(int i=0;i<n;i++) sum = sum*2.0/3+x/(3*sum*sum);
return sum;
}
int main(){
double x, n;
while(scanf("%lf%lf", &x, &n) != EOF){
printf("%.6f\n", y(n,x));
}
return 0;
}
问题 L: 与7无关的数
题目描述
一个正整数,如果它能被7整除,或者它的十进制表示法中某个位数上的数字为7,
则称其为与7相关的数.现求所有小于等于n(n<100)的与7无关的正整数的平方和。
输入
案例可能有多组。对于每个测试案例输入为一行,正整数n,(n<100)
输出
对于每个测试案例输出一行，输出小于等于n的与7无关的正整数的平方和。
样例输入
6
12
18
样例输出
91
601
1575
思路
思路很简单，写一个判断是否与7有关的函数，如果能被7整除，返回true（说明与7有关），然后用sprintf将输入的整数转化为字符串，再对字符串逐位判断是否等于字符’7’，如果是，返回true，最后如果两者都没有返回值，说明与7无关，返回false。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool judge(int n){
char tmp[3]={0};
sprintf(tmp, "%d", n);
if(n%7==0) return true;
else{
for(int i=0;i<strlen(tmp);i++) if(tmp[i]=='7') return true;
}
return false;
}
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
int sum = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(judge(i)==false) sum += pow(i,2);
}
printf("%d\n", sum);
}
return 0;
}
问题 M: 鸡兔同笼
题目描述
一个笼子里面关了鸡和兔子（鸡有2只脚，兔子有4只脚，没有例外）。已经知道了笼子里面脚的总数a，问笼子里面至少有多少只动物，至多有多少只动物。
输入
第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，每行一个正整数a (a < 32768)
输出
输出包含n行，每行对应一个输入,包含两个正整数，第一个是最少的动物数，第二个是最多的动物数，两个正整数用一个空格分开
如果没有满足要求的答案，则输出两个0。
样例输入
2
18
5
样例输出
5 9
0 0
提示
这个问题可以描述成任给一个整数 N，如果N 是奇数，输出0 0，否则如果N 是4 的倍数，
输出N / 4 N / 2，如果N 不是4 的倍数，输出N/4+1 N/2。这是一个一般的计算题，
只要实现相应的判断和输出代码就可以了。题目中说明了输入整数在一个比较小的范围内，
所以只需要考虑整数运算就可以了。
思路
这题很简单，首先，脚的总数肯定是偶数个，如果是奇数，就说明无解，输出0 0，如果是偶数的话，要最少只动物，那就除4（如果不是4的倍数的话，肯定会余2，说明还有一只鸡，如果是4的倍数的话，就全都是兔子），要最多只动物，那就除2。
代码
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
while(n--){
int a;
scanf("%d", &a);
if(a%2!=0) printf("0 0\n");
else if(a%4==2) printf("%d %d\n", a/4+1, a/2);
else printf("%d %d\n", a/4, a/2);
}
}
return 0;
}
小结
总的来说，这类问题还是比较简单的，我个人觉得主要能分为两类：
一类是用常见的数学概念让你算一些东西，比如矩阵乘积、鸡兔同笼、百钱百鸡问题等等，这种问题一般都不会涉及太深的数学知识，只要分析好就能写出来；
还有一类是题目会规定一些数或者运算规则，比如众数、反序数、abc+bcc等等，这一类题目的话只要按照题目的意思写，也不会有太大的问题。
