[5773]简单数学题 ｛数学｝

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题目

Description

话说， 小X是个数学大佬，他喜欢做数学题。有一天，小X想考一考小Y。他问了小Y一道数学题。题目如下： 对于一个正整数N，存在一个正整数T（0<T<N），使得 $\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}$的值是正整数。
小X给出N，让小Y给出所有可能的T。如果小Y不回答这个神奇的大佬的简单数学题,他学神的形象就会支离破碎。所以小Y求你帮他回答小X的问题。

Input

一个整数N。

Output

第一个数M，表示对于正整数N，存在M个不同的正整数T，使得 $\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}$是整数。
后面是M个数，每一个数代表可能的正整数T（按从小到大的顺序排列）。

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解题思路

$\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}$
我们可以假设 $x=N-T$
可知 $T=N-x=N-(N-T)$
代入原式得 $\frac{N-\frac{1}{2}\left [ N-(N-T)\right ]}{x}$
用乘法分配律可得 $\frac{N- \frac{1}{2}N}{x}+ \frac{\frac{1}{2}\left[N-T \right] }{x}$
假设式子的和为正整数 $k$约分可得 $\frac{N}{x}+1=2k$
然后我们显而易见的发现 $x$是 $N$的约数集合,我们仅需判断 $\frac{N}{x}+1是否为偶数即可。将对应的$N-x $储存在$ans$数组里，排一个序。

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代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
using namespace std; 
long long n,ans,t,a[10001],b[10001];   
int main()
{
	scanf("%lld",&n); 
    for (int i=1;i<=sqrt(n);i++)
     if (n%i==0) {
     	if (i*i==n) b[++t]=i; else {b[++t]=i; b[++t]=n/i;}
	 }
	for (int i=1;i<=t;i++)
	 if (b[i]!=n&&((n/b[i]+1)%2==0)) a[++ans]=n-b[i]; 
	sort(a+1,a+ans+1); 
	printf("%lld",ans); if (ans>0)
	{
	 for (int i=1;i<ans;i++) printf(" %lld",a[i]); 
	  printf(" %lld",a[ans]); 
		
	}
}