题目描述
解题思路
回文数：回文数是指正序（从左向右）和倒序（从右向左）读都是一样的整数。（第1个数和第n个数相等，第2个数和第n-1个数相等…）
解法一：暴力法（超时）
python代码
- 枚举所有长度大于等于 2的子串，依次判断它们是否是回文；
- ‘babad’，判断‘ba’，‘bab’，‘baba’，‘babad’，‘ab’，‘aba’，‘abad’，‘ba’，‘bad’，‘ad’是否符合回文数
- 找到最长的回文子串，例如‘ccc’，最长回文子串为‘ccc’，则需加上判断j-i+1>max_len
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
n = len(s)
if n<2:
return s
res = s[0]
max_len = 1
for i in range(0,n-1):
for j in range(i+1,n):
if j-i+1>max_len and self.valid(s,i,j):
max_len = j-i+1
res = s[i:j+1]
return res
def valid(self,s,m,n):
while m<n:
if s[m] != s[n]:
return False
else:
m += 1
n -=1
return True
复杂度分析：
时间复杂度：O(n^3)，这里n是字符串的长度，枚举字符串的左边界、右边界，然后继续验证子串是否是回文子串，这三种操作都与n相关
空间复杂度：O(1)，只使用到常数个临时变量
解法二：动态规划
1、如果一个字符串的头尾两个字符都不相等，那么这个字符串一定不是回文串；
2、如果一个字符串的头尾两个字符相等，才有必要继续判断下去。
（1）如果里面的子串是回文，整体就是回文串；
（2）如果里面的子串不是回文串，整体就不是回文串。
了解动态规划：
1、思考状态
dp[i][j] 表示子串 s[i, j] 是否为回文子串。
2、思考状态转移方程（核心、难点）
这一步在做分类讨论（根据头尾字符是否相等），根据上面的分析得到：
dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and dp[i + 1][j - 1]
分析这个状态转移方程：
（1）“动态规划”事实上是在填一张二维表格，i 和 j 的关系是 i <= j ，因此，只需要填这张表的上半部分；
（2）看到 dp[i + 1][j - 1] 就得考虑边界情况。
边界条件是：表达式 [i + 1, j - 1] 不构成区间，即长度严格小于 2，即 j - 1 - (i + 1) + 1 < 2 ，整理得 j - i < 3。
这个结论很显然：当子串 s[i, j] 的长度等于 2 或者等于 3 的时候，我其实只需要判断一下头尾两个字符是否相等就可以直接下结论了。
如果子串 s[i + 1, j - 1] 只有 1 个字符，即去掉两头，剩下中间部分只有1个字符，当然是回文；
如果子串 s[i + 1, j - 1] 为空串，那么子串 s[i, j] 一定是回文子串。
因此，在 s[i] == s[j] 成立和 j - i < 3 的前提下，直接可以下结论，dp[i][j] = true，否则才执行状态转移。
3、思考初始化
初始化的时候，单个字符一定是回文串，因此把对角线先初始化为 1，即 dp[i][i] = 1
4、思考输出
只要一得到 dp[i][j] = true，就记录子串的长度和起始位置，没有必要截取，因为截取字符串也要消耗性能，记录此时的回文子串的“起始位置”和“回文长度”即可。
5、思考状态压缩
因为在填表的过程中，只参考了左下方的数值。事实上可以压缩，但会增加一些判断语句，增加代码编写和理解的难度，丢失可读性。在这里不做状态压缩。
python代码
class Solution:
def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
size = len(s)
if size < 2:
return s
dp = [[False for _ in range(size)] for _ in range(size)]
max_len = 1
start = 0
for i in range(size):
dp[i][i] = True
for j in range(1, size):
for i in range(0, j):
if s[i] == s[j]:
if j - i < 3:
dp[i][j] = True
else:
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = False
if dp[i][j]:
cur_len = j - i + 1
if cur_len > max_len:
max_len = cur_len
start = i
return s[start:start + max_len]
复杂度分析：
时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)二维 dp 问题，一个状态得用二维有序数对表示，因此空间复杂度是 O(n^2)
