自顶向下的语法分析(1)

自顶向下的语法分析(1)

输入一个终结符串,求解该串是否合法,并指出转换路径.
自顶向下语法分析方法(即推导法)是从文法开始符S出发，逐步进行推导，以证实 $S\rightarrow\alpha$的推导过程是否存在的方法。

1. 推导哪一个非终结符
2. 选取哪条路径

(1)通常使用最左推导原则.
问题⑵通常需要穷举每一个规则的可能推导，即不确定的自顶向下语法分析。具体思想是：
一旦寻找到一个符号串α之推导过程，便结束穷举过程，断定符号串α是句子.只有当穷举全部可能的推导，而没有一个符号串α之推导过程的时候，才可以断定符号串α不是句子。

自顶向下的思想

对于问题⑵ “选择非终结符A的哪一个规则进行推导”，选择唯一的可能推导出输入串α的规则进行推导。
如果没有一个可能推导出输入串α的规则，则结束推导，宣告输入串α不是句子。

• “唯一”意味着非终结符U的其它任意规则，不可能推导出输入串α.
• “唯一”意味着每次选择非终结符U哪一个规则时，选择是“确定的”。

自顶向下的语法分析,重点就在于如何得到可以唯一确定路径的文法规则.

FIRST集

定义:
$First(\alpha)=\{a|\alpha\rightarrow^* aA,a\in V_T,\alpha,A\in V^*\}$
FIRST(α)是由α可以推导以终结符号开头符号串的头符号集合。如果所有非终结符右部的FIRST集合两两相交为空，可以使用确定的最左推导。
First的参量可以是终结符或非终结符或混合串.结果是终结符的集合.

e.g.

设文法G [S]：S→Ap︱Bq，A→cA︱a，B→dB︱b，则
FIRST(cA)＝ {c}
FIRST(A)＝ {c,a}
FIRST(Ap)＝ {c,a}
FIRST(Bq)＝ {d,b}

cA->ccA->ccc…A 头字符都是终结符c,就是{c}.
A->cA&a,就是{c,a}

求法

对 $\alpha$进行最左推导直至开头是终结符.注意尝试多种推导路径
纯终结符的first集是自己.

性质

如果所有非终结符右部的FIRST集合两两相交为空，可以使用确定的最左推导.
在上个例子中:
需要检查的是Ap,Bq,cA,a,dB,b
如果没有相交则可以通过最左推导唯一推导.

FOLLOW集

在最左推导中，一旦句型的最左非终结符A，除空规则外，其它所有规则都不可能推导出由输入符（假定为ai ）开头的符号序列，这时使用空规则，意味着将匹配d的工作交给了句型A之后的部分，也就是后面这部分要能推导出以ai开头的符号串才有可能匹配成功。
如果输入符号d能在某个句型中能出现在A的后面，可以使用了A的空规则再继续分析，否则即使使用了A的空规则，后面的推导也不可能匹配。所以需要对文法进行分析，文法的所有句型中，任意一个非终结符后可能出现的终结符的集合。
输 入 串： a1a2……ai-1 ai……an
句型推导到：S-> a1a2……ai-1 Aβ
如果使用空规则，意味着需要：β -> ai……an 才会有句型： S->a1a2……ai-1 A ai……an

定义

FOLLOW(A)是由任意句型中紧邻非终结符号A之后出现的终结符号a组成的集合。

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e.g.

设文法G [S]：S→Ap︱Bq，A→cA︱a，B→dB︱b，则
FOLLOW(S)={None}
Follow(A)={p}
Follow(B)={q}

性质

如果对非终结符A，有一条空规则，则A的FOLLOW集合和A的非空右部的FIRST集合两两相交为空，可以使用确定的最左推导。

SELECT集(*)

使用统一的方法来选择使用规则，即当某规则右部能推导出 空时，将其FIRST和FOLLOW这2个集合合并考虑，以确定在什么 情况下选择该规则。
$文法G,A\in V_N,A\rightarrow \alpha\in P\\SELECT(A\rightarrow\alpha)=FIRST(\alpha),when(\alpha\not\Rightarrow^* \xi)\\or=(FIRST(\alpha)-\{\xi\})\cup FOLLOW(A)when\alpha\Rightarrow^*\xi$
SELECT(A→α)称为规则A→α的选择集。它是FIRST(α) 和FOLLOW(A)组成，是终结符号集VT的子集.

LL1

定义

文法G是LL(1)文法的充分必要条件是文法G每个 $U→α1︱α2︱···︱α n$规则，满足下列条件：
$SELECT(U→αi)\cap SELECT(U→αj)＝\empty$
$（i≠j ，1≤i≤n，1≤j≤n）$
即SELECT无交集.

性质

假定文法G是LL(1)文法，在S->α 最左推导过程中，遇到选用U规则时，如果输入串α 的当前符号a，属于某个U规则的 SELECT(U→αi)，则采用U→αi进行唯一可能正确的推导。 如果当前符号a，不属于任何一个U规则的 SELECT(U→αi)， 则结束推导，同时断定α不是文法G的句子。
确定的自顶向下语法分析不必穷举所有的推导过程，避免 了回溯现象，极大地提高了语法分析的效率。这里“确定的” 意指选择规则的确定性。这类分析法，也称为不带回溯的自顶向下语法分析。

理解

这种LL1文法明确了推导路径,如果当前符号a落在某个推导路径的SELECT中(并且只可能落在这里),则使用该路径而不需要进行尝试.如果在所有的SELECT外,则不构成句子.

Example

文法:
$G1[S]:S\rightarrow pA|qB\\A\rightarrow cAd|a\\B\rightarrow dB|b$
输入串:
$pccadd$

首先确认SELECT集:
pa,qb等都推不到ξ,SELECT使用下面的公式:SELECT=FIRST=后续推导的首终结符集合
SELECT(S→pA)={p} , SELECT(S→ qB)={q}
SELECT(A→cAd)={c} , SELECT(A→a)={a}
SELECT(B→dB)={d} , SELECT(B→b)={b}

检查同一个左部下的右部,
$SELECT(S→pA)∩SELECT(S→ qB)＝Φ \\SELECT(A→cAd)∩SELECT(A→a)＝Φ \\SELECT(B→dB)∩SELECT(B→b) ＝Φ$
都是empty,是LL1.
所以输入串的推导唯一确定.
$S->pA->pcAd->pccAdd->pccadd$

LL1的判别

实质上是计算每个右部的SELECT的交集.

1. 判断SELECT的选择路径,通过是否可推导出 $\xi$.
2. 计算SELECT
3. 检查同一个左部的交集

自动化计算可以推导 $\xi$的非终结符

1. 初始化X[]为Undefined
2. 删除规则所有右部至少含有一个终结符的规则。若删除后 某非终结符A的所有规则都被删除，置X[A]为“否”
3. 对所有空规则（A→ε），置X[A]为“是”，并删除左部 为A所有规则
4. Loop:
   5. 剩下的规则中:如果某规则右部非终结符都是Y,设置X[A]=Y,删除所有规则
   6. 删除右部含有标记为N的非终结符的规则;如果删除后规则为空,设置X[A]=N
5. Until X[]不再变化
   X[]是一个非终结符为下标、元素个数为 $︱V_N︱$的一维数组。数组元素X[A]取值为“ 未定”、“否”和“是”，分别表示非终结符A还不确定能否可推导ε、确定不可推导ε 和确定可推导ε。

理解

和人工确定的步骤类似:

• 右部全部能推出的非终结符可以推出
• 右部全部不能推出的非终结符不可以推出
• 删除,迭代,直到稳定解

自动化计算FIRST(X)

这里X是单个终结符或非终结符.

1. 对于所有终结符号X，FIRST(X)＝{X};
2. 对于所有空规则X→ε，FIRST(X)∪＝{ε}; //Add empty
3. 对于所有形如X→a···规则，且a∈VT，FIRST(X)∪＝{a};//Add a
4. 对于所有形如X→Y1 Y2 ···Yn规则， 如果Y1->*ε、Y2->*ε、 ··· 、Yi-1->*ε（i＜=n）, 则 FIRST(X)∪＝（FIRST(Y1 )∪FIRST(Y2 )…∪FIRST(Yi))－{ε}; 如果Y1->*ε、Y2->*ε、 ··· 、Yn->*ε 则 FIRST(X)∪＝ (FIRST(Y1 )∪FIRST(Y2 )…∪FIRST(Yi ))∪{ε};
5. 重复⑷，直到FIRST()不再扩大为止。

自动化确定FIRST( $\alpha$)

确定了所有的FIRST(X),自动求终结符+非终结符的串的FIRST.
$\alpha=Y_1...Y_n$

如果 Y1 为终结符,则 FIRST(α）＝{ Y1 }；
如果 Y1 ->*ε、Y2 ->*ε、 ··· 、Yi-1 ->*ε(1＜i＜=n)，则 FIRST(α)＝(FIRST(Y1 )∪FIRST(Y2 )…∪FIRST(Yi ))－{ε};
如果 Y1 ->*ε、Y2 ->*ε、 ··· 、Yn ->*ε 则 FIRST(α)＝(FIRST(Y1 )∪FIRST(Y2 )…∪FIRST(Yn ))∪{ε}。

解释:

1. 串的首字为终结符,FIRST只有该终结符(定义)
2. 剩下的,如果前i个非终结符都可以推出空,则为这样一个并集,没有empty.此时等价A->…|…|…|…
3. 如果捅到底,还要加上empty.(此时等价A->empty)

自动化计算FOLLOW

目标:FOLLOW(X)是任何句型中出现在紧邻非终结符X之后的终结符.

1. FOLLOW(S)={#}
2. Loop…
3. if $A\rightarrow \alpha B\beta$(串+非终结符+串),FOLLOW(B) add（FIRST(β)－{ε}）
4. if $\beta\rightarrow^* \xi$,FOLLOW(B) add FOLLOW(A)
5. Until 稳定解

SUM

1. FITRST集:针对终结符+非终结符的串,是推导结果的首字的集合.主要推导出每个右部的FIRST.
2. FOLLOW集:针对非终结符,是推导过程中(几步推导)该非终结符后一个相邻的终结符的集合或者尾符#
3. SELECT集:针对规则:
   1. 如果该式起始不能推导到empty,为右部的FIRST;
   2. 否则,为 $(FIRST(\alpha)-\empty)\cup FOLLOW(A)$

LL1的判定

1. 计算可以推出empty的非终结符
2. 计算非终结符的FIRST
3. 计算右部的FIRST
4. 计算非终结符的FOLLOW
5. 计算每条规则的SELECT
6. 查看同一左部是否有交集

See:
https://www.cnblogs.com/standby/p/6792774.html
https://www.cnblogs.com/standby/p/6792814.html