零钱的兑换

题目： 给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
示例：
示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3

解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

思想1： 贪心算法+dfs

1. 要想快速的凑出零钱，首先想到的就是先从大的凑，所以我们先把数组排序，把大的放在第一个或最后一个。若从小到大，我们在判断退出边界时很难判断，从大到小，我们只需判断边界是否为数组.size()即可，所以先利用反向迭代器排序为大到小。
2. 先拿大的，拿的个数为amount/max=num个，不断从数组中取值计算，如果我们无法凑出这个整数，我们就需要把num–，再进行计算。
3. 因为求最少硬币个数，所以要定义个ans来保存当前最小硬币数目，在比较时进行剪枝操作，即若当前硬币个数大于ans，我们则没有必要的操作
4. 故我们可以推导出递归方程：

dp(coins,amount-num*coin[index],index+1,count+k,ans)

其中coins为硬币数组，后面一项为当前零钱数目，index为硬币下标，count+k表示当前硬币个数，ans表示目前最少零钱个数。
看文字
理解不够深的同学可以看一下，下面这个图来理解一下，若理解了直接看代码。

简单来说就是不断递归前进找出所有情况，回溯时进行递减和剪枝操作。
代码：

void dp(vector<int>& coins, int amount, int index, int count, int& ans)
{
    if (amount == 0)
    {
        ans = min(ans, count);//找最小值
        return;
    }
    if (index == coins.size()) return;//越界处理
    for (int k = amount / coins[index]; k >= 0 && k + count < ans; k--)//剪枝操作，回溯时k--
    {
        dp(coins, amount - k * coins[index], index + 1, count + k, ans);//递归
    }
}
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
{
 if(amount == 0)
  return 0;
 sort(coins.rbegin(),coins.rend());//从大到小
 int min = INT_MAX;//用来表示最优解，每次存放最小的。
 dp(coins,amount,0,0,min);
 return min == INT_MAX?-1:min;//等于就表示没有计算。
}

[思想2：] 动态规划

1. 这是个求解最优解的问题，我们也不难想到动态规划来解决。最优子结构性质我们不在此处进行证明了。我们知道下一次硬币的个数一定为上一次最少硬币个数加一，我们采用自上而下的解决方法。
2. 推导出转移方程：

F(S-C)=F(S)+1;

C代表当前硬币的大小。F(S)为当总金额为S时的最少硬币数。
3. 假设硬币有[1,2,3] amount=4，我们画出递归树来。
在树枝上的是每次选取的硬币的数值，我们可以看到每次有大量的数值被重复计算，所以我们需要用一个数组来保存F(S)的值。
4. 我们以F(3)的求解过程来详细说明动态规划的思想:

5. 通过上面的过程我们可以总结出来，每次递归不断往下走，直至amount=0，我们返回值，不断退栈，在退栈的过程中我们用min保存最小值，不断比较，最终保存在数组中。代码： 那我们接下来看看代码：

class Solution {
    vector<int>count;//设为全局的，保存最小硬币数
    int dp(vector<int>& coins, int amount) {
        if (amount < 0) return -1;
        if (amount == 0) return 0;
        if (count[amount - 1] != 0) return count[amount - 1];//例如：F(2)=F(1)+F(1)
        int Min = INT_MAX;
        for (int coin:coins) {
            int res = dp(coins, amount - coin);//为当前最少硬币数
            if (res >= 0 && res < Min) {
                Min = res + 1;//加一
            }
        }
        count[amount - 1] = Min == INT_MAX ? -1 : Min;
        return count[amount - 1];
    }
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if (amount < 1) return 0;
        count.resize(amount);//初始化
        return dp(coins, amount);
    }

我最开始想到第一种，第二种比较难想，大家根据自身情况理解哦。动态规划和df有点难，我们要加油哦！❤