acwing动态规划（二）——线性DP、区间DP、计数类DP

1.线性DP

递推的顺序是线性的。

1.数字三角形

算法思想：自上而下，判断可以选择的两个数中较大的那个。

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 510;
int f[N][N];

int main()
{
    int n ;
    cin >> n;
    
    memset(f , -0x3f , sizeof f);//初始化为负无穷
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
            cin >> f[i][j];
            
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++)//一定要从第二行开始
        for(int j = 1 ; j <= i ; j++)
        f[i][j] += max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j - 1]);
        
    int ans = f[n][1];
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
    ans = max(ans , f[n][i]) ;
    
    cout << ans << endl;
        
    
    
}

2.最长上升子序列I O(n²)

算法思想：以倒数第二个数分类，如果最后一个数比倒数第二个大，进而判断长度。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N];
int f[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    a[0] = -0x3f3f3f3f;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {  
        cin >> a[i];
        for(int j = 0 ; j <= i - 1 ; j++)
        if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i] , f[j] + 1);
    }
    
    int ans = 0 ; 
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)   ans = max(ans , f[i]);
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

2.最长上升子序列II

题目：给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
1≤N≤100000，
−10⁹≤数列中的数≤10⁹
算法思想：维护一个数组，里面存储一个上升子序列中，末尾元素最小的值

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N];
int q[N];
int len;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)    cin >> a[i];
    
    q[0] = -2e9;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++)
    {
        int l = 0 , r = len;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if(q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
    
    len = max(len , r + 1);
    q[r + 1] = a[i];
    }
    
    cout << len << endl;
    return 0;
}

3.最长公共子序列

题目：给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

f[i-1][j]表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

f[i][j-1]表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

f[i-1][j-1]表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

f[i][j]表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则f[i][j] = f[i-1][j-1]+1

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1])

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];//f[i][j]表示在第一个序列的前i个字母中出现，并且在第二个序列的前
			//j个字母中出现的子序列的长度。 

int main()
{
    cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
        {
            f[i][j] = max(f[i -1][j] , f[i][j - 1]);
            f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + a[i] != b[j]);
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

4 . 最短编辑距离

给定两个字符串A和B，现在要将A经过若干操作变为B，可进行的操作有：

1. 删除–将字符串A中的某个字符删除。
2. 插入–在字符串A的某个位置插入某个字符。
3. 替换–将字符串A中的某个字符替换为另一个字符。

算法思路：创建一个f[N][N]，f[i][j]表示，a中前i个字母变成b中前j个字母最少的步骤。因为有三种操作方式，因此在计算f[i][j]时，要在之前的基础上利用三种操作，并且取min。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
    
    for(int i = 0 ; i <= m ; i++) f[0][i] = i;
    for(int i = 0 ; i <= n ; i++) f[i][0] = i;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
        {	//必然会经过这一步，所以不用判断
            f[i][j] = min(f[i][j - 1] + 1 , f[i - 1][j] + 1);
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j - 1]);
            else f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

2.区间DP

题目：合并石子。

算法思想：因为每次合并都是将左边一堆和右边一堆合并，所以以左右堆的分界线为分类依据，与此同时，为了在计算大区间时，小区间已经被计算了，所以要先计算小区间，即也要以区间长度为分类大前提。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 310;

int a[N];
int f[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//计算前缀和
    {
        cin >> a[i];
        a[i] += a[i - 1];
    }
    
    for(int len = 2 ; len <= n ; len++)//为保证计算较大的区间时小区间已经被计算，所以以区间长度分类，长度自小到大。
        for(int i = 1 ; i + len - 1 <= n ; i++)
        {
            int l = i , r = i + len - 1;
            f[l][r] = 0x3f3f3f3f;
            for(int k = l ; k < r ; k++)
            f[l][r] = min(f[l][r] , f[l][k] + f[k + 1][r] + a[r] - a[l - 1]);
        }
        
    cout << f[1][n] << endl;
}

3. 计数DP

题目：f[i][j]表示用1~i中间的数凑出j
方案有选0个i，1个i，2个i…，然后全部加起来。
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2i] +…+f[i-1][j-si]
f[i][j-i] = f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2i] +…+f[i-1][j-si]
所以f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
为了减少一维，从前往后遍历j，使得要用到的f已经被计算过。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010 , P = 1e9 + 7;
int f[N];

int main()
{
    int n;
    
    cin >> n;
    
    f[0] = 1;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = i ; j <= n ; j++)
         f[j] = (f[j] + f[j - i]) % P;
    
        
    cout << f[n] << endl;
    
    
    return 0;
}