【关于四足机器人那些事】足端轨迹规划-复合摆线轨迹

在四足机器人的研究中，有一个很关键的问题，就是如何减少足端在触地瞬间的冲击，避免把机器人把自己给蹬倒了？这时候就需要一个合理的足端轨迹规划。本篇将会介绍几种足端轨迹。

本文将对四足机器人的足端轨迹进行规划。将数学中的复合摆线和多项式曲线引入到足端轨迹的规划中，根据零冲击原则[2]，规划出 3 条满足要求的足端轨迹，包括：

• 复合摆线轨迹
• 八次多项式轨迹
• 分段五次多项式轨迹

本篇先介绍第一个

一、复合摆线轨迹

该轨迹是摆线方程的延伸，我们先来看什么是摆线

1、摆线

摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。

看以下动图就知道摆线是如何来的：

红色线即为摆线轨迹，总结成数学公式为：

$x = r(t-\sin t)$

$y = r(1-\cos t)$

2、复合摆线轨迹

文献[1]中提出了一种基于复合摆线形式的轨迹规划方法，并在文献[2]中得到了验证和使用。针对机器人足底与地面接触时会产生滑动和行走过程中拖地问题，文献[2]对复合摆线规划方法提出了修改，修改后的摆动腿的步态规划轨迹定义为：

$\left\{\begin{matrix} x = S\left [\frac{t} {T_m}-\frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m}) \right ]\\ \\ y = H\left [ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi t}{T_m})\right ] \end{matrix}\right.$

其中S为步幅， H为抬腿高度， $T_m$为摆动相周期。现在我们来看提下它的图像，设定S = 100， H = 30， 周期T=2。

xoy图像如下：

接下来我们依次看x，y关于时间的位置，速度，加速度

该轨迹加速度方程是余弦函数的倍数，在 t=0 和 t=Tm时刻会出现加速度跳变，抬腿的瞬间要求产生较大的接触力。从加速度图像亦能说明这一点。针对这一问题，文献[5]对 y 方向的位移方程提出了修改。（推导过程就不展示了，有兴趣的可查找原文）

最终形式为：

$\left\{\begin{matrix} x =& S\left [\frac{t}{T_m}-\frac{1}{2\pi}\sin(\frac{2\pi t}{T_m}) \right ]\\ \\ y =& H\left [ sgn(\frac{T_m}{2}-t)(2f_E(t)-1) + 1 \right ] \end{matrix}\right.$

其中
$f_E(t) = \frac{t}{T_m}-\frac{1}{4\pi}\sin(\frac{4\pi t}{T_m})$

$sgn(\frac{T_m}{2}-t) = \left\{\begin{matrix} 1 \quad 0\leqslant t < \frac{T_m}{2}\\ \\ -1 \quad \frac{T_m}{2}\leqslant t < T_m \end{matrix}\right.$

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参考文献

[1] SAKAKIBARA Y，KAN K，HOSODA Y，et al. Foot trajectory for a quadruped walking machine[C] // Proceedings IROS '90. IEEE International Workshop on，July 3-6，1990，Ibaraki，Japan. New York，NY，USA：IEEE，1990：315-322.

[2] 何冬青，马培荪. 四足机器人动态步行仿真及步行稳定性分析[J]. 计算机仿真，2005(2)：146-149. HE Dongqing ， MA Peisun. Simulation of dynamic walking of quadruped robot and analysis of walking stability[J]. Computer Simulation，2005(2)：146-149.

[3] 李贻斌，李彬，荣学文，等. 液压驱动四足仿生机器人的结构设计和步态规划[J]. 山东大学学报，2011(5)：32-36，45. LI Yibin，LI Bin，RONG Xuewen，et al. Mechanical design and gait planning of a hydraulically actuated quadruped bionic robot[J]. Journal of Shandong University，2011(5)：32-36，45.