1126 求递推序列的第N项（矩阵快速幂）

有一个序列是这样定义的：f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

给出A，B和N，求f(n)的值。

Input

输入3个数：A,B,N。数字之间用空格分割。(-10000 <= A, B <= 10000, 1 <= N <= 10^9)

Output

输出f(n)的值。

Input示例

3 -1 5

Output示例

首先说矩阵乘法，正方形矩阵，行数、列数都为N，a[i][j] = (k 1->N) a[i][k]* a[k][j] 。

f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7

2*2 矩阵X： A B 乘矩阵Y f(2) 0 等于 f(3) 0

1 0 f(1) 0 f(2) 0

可得 X^(N-2) * Y = f(n) 0 注意 X， Y 为矩阵

f(n-1) 0

在计算 X^(N-2) 是要用到矩阵快速幂，矩阵快速幂和快速幂的思路差不多，只不多将两个数的乘法换成矩阵乘法。

注意：这道题有一个隐藏的坑点，就是序列中的数需要大于等于 0

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2;
const int mod = 7;

typedef struct matrix{
    int a[N][N];
}Matrix;

Matrix multi(Matrix A, Matrix B) {
    Matrix temp;
    memset(temp.a, 0, sizeof(temp.a));
    for(int i=0; i<N; i++)
        for(int j=0; j<N; j++)
            for(int k=0; k<N; k++) {
                temp.a[i][j] += A.a[i][k]*B.a[k][j];
                temp.a[i][j] %= mod;
            }
    return temp;
}

Matrix quick_multi(Matrix A, int n) {
    Matrix temp;
    memset(temp.a, 0, sizeof(temp));
    for(int i=0; i<N; i++) temp.a[i][i] = 1;

    while(n) {
        if(n&1)
            temp = multi(temp, A);
        A = multi(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return temp;
}


int main(){
    int A, B, K;
    cin >> A >> B >> K;

    if(K < 2) {
        cout << "1" << endl;
        return 0;
    }

    Matrix X, Y;
    X.a[0][0] = (A%mod+mod)%mod, X.a[0][1] = (B%mod+mod)%mod;
    X.a[1][0] = 1, X.a[1][1] = 0;

    Y.a[0][0] = 1, Y.a[0][1] = 0;
    Y.a[1][0] = 1, Y.a[1][1] = 0;

    Matrix ans = quick_multi(X, K-2);
    ans = multi(ans, Y);
    cout << ((ans.a[0][0]%mod)+mod)%mod << endl;
    return 0;
}

1126 求递推序列的第N项 （矩阵快速幂）

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