简要题意：
求一个长度最小的货币系统与给出的货币系统等价。求这个货币系统的长度。等价的定义详见题目，不再赘述。
本文可能用到一些集合论，请放心食用。
算法一
\(n=2\) 时，只需判断两个数的倍数关系。有倍数关系则答案为 \(1\)，否则为 \(2\).
时间复杂度：\(O(T \times n)\).
实际得分：\(15pts\).
算法二
\(n=3\) 时，首先，如果两个数都是另一个数的倍数，那么答案为 \(1\).
否则，如果仍存在倍数关系，则答案为 \(2\).
其余的情况，只需要考虑，最小的数和次小的数能否表示出最大的数。
能则为 \(2\)，否则为 \(3\).
这里有很多种方法判断。比如：
-
暴力，用桶直接来，\(O(\max a_i)\).
-
考虑解方程，用 \(\texttt{exgcd}\) 写，\(O(\log \max a_i)\).
总之，时间复杂度为 \(O(T \times n \times (\max a_i))\). （无需优化，因为没有必要）
实际得分：\(30pts\).
算法三
首先，假设给出 \(S\)，答案为 \(T\). 则必有：
下面来证明这个结论。
如果 \(T \not \in S\)，则考虑取出 \(x = \min (i \in S)\)，\(y = \min(i \in T)\).
如果 \(x<y\)，则 \(x\) 无法被表示。
如果 \(y>x\)，则 \(y\) 无法被表示。
如果 \(x=y\)，那么不断递归下去，得证。
所以，我们只需要在给出的货币系统中寻找答案即可。
这里我们枚举选的答案，然后一一验证。
时间复杂度：\(O(2^n \times n \times (\max a_i) \times T)\)，可以通过。
实际得分：\(65pts\).
算法四
注： \(n = 25\)，本人没有想到什么可以 \(O(2^n \times T)\) 过掉的算法，因此这一档部分分可能是用来给选手瞎搞的。？？？
你发现不需要一一枚举。首先你排序一下。
你只要用当前已有的数，判断当前正在决策的这个数能否被表示出。
能，那么说明这个数没有必要，把它抛弃。
否则，肯定要选。只是因为，\(>\) 它的数表示不出，而 \(<\) 也表示不出，只有它自己能表示自己，所以必须选。
那么，这样我们可以唯一确定一个数是否被选。（排序后从小到大选）
如何判断？
我们发现，每次新加入一个数 \(x\) ，我们需要维护能判断出的桶。
此时，可以在原有的桶上，对每个能表示出的数 \(k\)，把 \(k+x , k+2x,k+3x \cdots k+ \infty x\) 全部标为可以判断。这是显然的。
至于 \(\infty\) 的上限，只要标到 \(\max a_i\) 即可，因为后面的数没有用了。
时间复杂度：\(O(n \times T \times (\max a_i))\).
实际得分：\(100pts\).
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+1;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int T,n,a[N];
int cnt=0;
int maxi; bool h[N];
int main(){
T=read(); while(T--) {
n=read(); maxi=0; cnt=0;
memset(h,0,sizeof(h)); //初始化
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),maxi=max(maxi,a[i]);
sort(a+1,a+1+n); //排序
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!h[a[i]]) { //不能被表示
h[a[i]]=1; cnt++;
for(int j=1;j<=maxi;j++)
if(h[j]) {
for(int k=a[i];j+k<=maxi;k+=a[i])
h[j+k]=1;
} //维护能被表示的桶
} printf("%d\n",cnt);
}
return 0;
}