再谈斐波那契，把数字翻译成字符串

  学习的过程就是用记忆构建一个知识网的过程，网的密度决定了你容易遗忘的程度。如果担心遗忘，就努力把这个知识的网构建的更密一些。在讲算法设置的大致流程的时候，我通过斐波那契数列讲解了一下算法求解优化的大致过程。从斐波那契数列讲解算法设计的思路这篇文章写得还是蛮精彩的，感兴趣的可以回过去看看。
  本文将继续遵循那篇文章的讲解再来谈一个比较有趣的算法题目。

题目描述

  给定一个数字，我们按照如下规则把它翻译为字符串，0翻译成"a"，1翻译成"b"…25翻译成"z"，根据字符的字母顺序对应数字。给定一个数字串，可能会翻译成多个字符串。例如，12258有5种不同的翻译，分别是"bccfi"，“bwfi”，“bczi”，“mcfi"和"mzi”。请编程实现一个函数，用来计算一个数字有多少种不同的翻译。

算法分析

  接触到这个题目，我们先来做分析。如果直接给你一个很长很长的数，那肯定都不会分析了。所以先想想如何把问题化简。以题目中给出的12258为例，第一个数字是1，显然是1的话就会存在两种情况，第一种情况，1单独翻译。第二种情况，因为1可以和后面的数字合并起来翻译，这个很容易理解，只要和后面的数字合并起来小于26，都可以在单独翻译的基础上，多一种合并翻译。我们先看1单独翻译，那么后面我们就要求2258的翻译情况，如果我们把1和后面的2合并翻译，那么后面就要求258的翻译情况。
  这个问题也可以从后往前分析，因为性质是一样的，但是我觉得从前往后更容易理解。
  这个时候我们把问题规模缩小了，问题还是求数字的翻译情况，类型没有变。这个过程很适合用递归来实现。此时我们总结一下，这个化简问题的过程。如果当前数字可以和后面的数字合并翻译，那我们就会产生两个递归分支，我们的总数目就是两个递归分支数目的和。如果不能合并翻译，那么总数目就直接是后面数字的翻译数目。
  但是我们不能光分析出递归就停止，因为递归的算法一定要有终止条件，显然这个题目中的终止条件就是翻译完了最后一个字符，也就是说两个数字翻译出一个字符，和一个数字翻译出一个字符。所以写代码的时候剩余两个数字就可以停止了，如果可以合并，返回2，如果不能合并翻译返回1。
  但是如果我们继续分析，就会发现我们第一步把问题转换成了求2258的翻译数目，如果进一步化简问题，我们就需要求258的翻译数目，这个问题好像就是我们第一次分解求的第二个问题，这就涉及到我上篇文章中所写的，就是递归带来重复计算的问题，我们可以通过添加备忘录，来解决重复计算的问题。如果我们不对题目有过高的要求，到这里已经可以停止了，毕竟递归写出来的代码简单，而且这样的话避免了重复计算，复杂度不会高。
  但是，根据我们之前学到的算法分析套路，我们不能就此收手，我们还可以对递归继续优化。我们之前已经说过终止条件，就是一个字符，那么显然这就是我们所能解决的基础问题，递归是自顶向下的算法，我们能否通过自底向上的算法，动态规划来解决递归栈的调用问题，我们从我们所能解决的基础问题入手，那就是一个字符(可能是一个数字，可能是两个数字)。显然这个时候就是逆向思维，我们扫描到第 $i$个数字( $i>2$)，它有可能无法和前面的数字合并，到这个数字为止，翻译数目就是前面数字的翻译数目 $f(i)=f(i-1)$。但是如果可以和前面的数字合并，那么可以单独翻译，此时的翻译数目就是 $f(i)$，可以合并翻译，翻译数目就是 $f(i-2)$，所以总的翻译数目就是 $f(i-1)+f(i-2)$。
  我们可以对上面的分析总结一下，通过指示函数 $I(x)\in{0,1}$来表示第x个字符是否可以和前面的字符合并翻译，则我们轻易推出公式，截止第x个字符，可翻译的数目 $f(x)=f(x-1)+I(x)f(x-2), x>2$，通过这种分析，就很容易写出动态规划状态转移方程了。可能很多人写出这个转移方程才恍然大悟，这个怎么这么像斐波那契数列的递推式，这个问题比较简单，如果大家能轻易看出来这就是有条件的斐波那契数列，也可以直接写出代码。

python代码

def getTranslationsCount(num):# 未对异常输入做出处理
    if isinstance(num,int):
        num=str(num)
    f0=0
    f1=1
    for i in range(len(num)):
        if num[i-1]=='1' or num[i-1]=='2' and num[i]<'6': # 判断是否可以和前面的数字合并
            f=f0+f1
        else:
            f=f1
        f0=f1
        f1=f
    return f

  这个代码的复杂度分析很简单了，当然最后的代码实现了空间复杂度 $O(1)$，时间复杂度 $O(n)$，至于其他分析的复杂度也在我的链接文章中详细讲解过，这里不重复赘述。
  这是一个很简单的问题，在这里的讲解主要是为了巩固文章开头链接的文章，同时也为了向大家展示一种斐波那契数列的变体问题，问题大家就当见过就行。问题分析的步骤大家应当了熟于心，对问题养成直觉之后便可脱离套路。