線形代数は、有限次元ベクトル空間上の線形写像を研究します。

1.AR^n と C^n

複素数:

複素数は順序ペア (a, b) です。ここで、 $a,b\in R$ 、は通常と書かれます。 $あ+び$ $i^2=-1$
すべての複素数の集合は C で示されます。 $C=\{a+bi:a,b\in R\}$
C における加算と乗算は次のように定義されます。

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、$

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i、$

で $R の a、b、c、d\$

複素数の算術的性質:

可換性、誰でも $C の \alpha,\beta\$ 利用可能 $\アルファ+\ベータ=\ベータ+\アルファ,\アルファ \ベータ=\ベータ\アルファ$ 。
連想性、 $C の \alpha,\beta\$ すべてに $(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda),(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)$ 。
アイデンティティ、 $C の \lambda\$ すべての人にとって $\ラムダ +0=\ラムダ,\ラムダ1=\ラムダ$
加法逆関数 (additive inverse) には、それぞれに次のような $Cの\アルファ\$ 固有の値があります。 $\beta \in C$ $\アルファ+\ベータ=0$
乗法逆数 (乗法逆数) には、それぞれに次のような $\alpha\in C、\alpha \ne0$ 固有の値があります。 $\beta\in C$ $\アルファ\ベータ=1$
$\lambda,\alpha,\beta \in C$ 誰もが利用できる分配財産 $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$

グループ (リスト)、長さ (長さ) :

n を負ではない整数としましょう。長さ n のグループは、コンマで区切られ、括弧で囲まれた n 個の要素のシーケンスです (これらの要素は、数値、他のグループ、またはより抽象的なものにすることができます)。長さ n のグループは次の形式になります。

$(x_1,...,x_n)$

2 つのグループは、長さが同じで、同じ要素が含まれ、同じ順序である場合に限り、等しいと見なされます。

F : F はR (実数の集合)またはC (複素数の集合)を表します。R と C は両方ともフィールドの例であるため、文字 F が選択されました。

F^n : $ふん$ F の要素で構成される長さ n のグループのセットです。

$F^n=\{(x_1,...,x_n):x_j\in F,j=1,...,n\}$

$(x_1,...,x_n)\in F^n$ との場合、それはの番目の座標 $j\in \{1,...,n\}$ と呼ばれます。 $x_j$ $(x_1,...,x_n)$ $j$

F^n での加算 $ふん$ :

$ふん$ 加算は対応する座標の加算として定義されます。

$(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$

F^n の加法可換性:

の場合 $x,y\in F^n$ 、 $x+y=y+x$ 。

0 : 長さ n のグループを表すには 0 を使用し、すべての座標は 0 になります。 $0=(0,...,0)。$

F^n の加法逆関数:

の場合 $x\in F^n$ 、x の加法逆元 (-x と表記) は、次の条件を満たすベクトルです $-x\in F^n$ 。

$x+(-x)=0。$

言い換えれば、 $x=(x_1,...,x_n)$ の場合、です $-x=(-x_1,...,-x_n)$ 。

F^n でのスカラー乗算:

数値 λ と $ふん$ ベクトル in の積は、ベクトルの各座標に λ を掛けることによって計算されます。

$\lambda(x_1,...,x_n)=(\lambda x_1,...,\lambda x_n),$

で $\lambda \in F,(x_1,...,x_n)\in F^n。$

1.B ベクトル空間の定義

加算、スカラー乗算：

$u,v\in V$ 集合 V への加算は、各ペアを要素 $V$ に関連付ける関数です $u+v$ 。
セットのスカラー乗算は、任意の合計を要素に $V$ マッピングする関数です。 $\ラムダ\in F$ $v\in V$ $\ラムダ v\in V$

ベクトル空間:

ベクトル空間は、加算とスカラー倍算を備えた集合Vであり、次の性質を満たします。

可換性、誰でも $u,v\in V$ 利用可能 $u+v=v+u$ 。
結合性、すべての $あなた、v、\in V$ 合計には合計が $a,b\in F$ 存在します。 $(u+v)+w=u+(v+w)$ $(ab)v=a(bv)$
加法的同一性、要素は $0\in V$ すべてに対して $v\in V$ 存在するように存在します $v+0=v$ 。
加法逆関数は、次 $v\in V$ のようなそれぞれに対して存在します。 $V付き$ $v+w=0$
$v\in V$ すべての人が利用できる乗法的恒等式 $1v=v$ 。
分配特性（分配特性）には、すべての $a,b\in F$ 合計の合計 $u,v\in V$ があります。 $a(u+v)=au+av$ $(a+b)v=av+bv$

ベクトル、ポイント: ベクトル空間内の要素はベクトルまたはポイントと呼ばれます。

実ベクトル空間（実ベクトル空間）、複素ベクトル空間（複素ベクトル空間）：

R 上のベクトル空間を実ベクトル空間と呼びます。
C 上のベクトル空間は複素ベクトル空間と呼ばれます。

表記法 F^S :

$S$ を集合とし、S $F^S$ からの $F$ すべての関数の集合を表します。
の場合、合計は次の関数であると $f,g\in F^S$ 規定されています。 $f+g\in F^S$ $x\in S$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 。

$\ラムダ\in F$ sumの場合 $f\in F^S$ 、積は $\ラムダ f\in F^S$ 次の関数になるように規定されています: for all $x\in S$ ,

$(\ラムダ f)(x)=\ラムダ f(x)$ 。

加法単位要素は一意です: ベクトル空間には一意の加法単位要素があります。

加法逆関数は一意です。ベクトル空間の各要素には一意の加法逆関数があります。

1.C 部分空間

部分空間: V の部分集合 U (V と同じ加算とスカラー倍算を使用) もベクトル空間である場合、U は V の部分空間であると言われます。

部分空間の条件: V の部分集合 U は、U が次の 3 つの条件を満たす場合に限り、V の部分空間になります。

加法的アイデンティティ、 $0\in U$ ;
追加、 $あなたはあなたと\in U$ 含意の下で閉じられます $u+w \in U$ 。
スカラー乗算 $Fで\$ および $あなたは\in U$ 暗黙的に閉じられます $米国では$ 。

サブセットの合計:

$U_1、...、U_m$ すべてがの $V$ 部分集合であると仮定すると、の合計はの要素の可能なすべての $U_1、...、U_m$ 合計の集合として定義され、として表されます。すなわち、 $U_1、...、U_m$ $U_1、...、U_m$

$U_1,...,U_m=\{u_1+...+u_m:u_1\in U_1,...,u_m\in U_m\}$ 。

部分空間の合計は、これらの部分空間を含む最小の部分空間です。 $U_1、...、U_m$ すべてが $V$ の部分空間であると仮定すると、はを含む最小の部分空間 $U_1、...、U_m$ になります $V$ $U_1、...、U_m$

直接和：

$U_1、...、U_m$ すべてが部分空間であると仮定すると $V$ 、

$U_1+...+U_m$ 和の各要素がとして一意に表現でき $u_1+...+u_m$ 、各要素が $u_j$ に属する場合、和は直接和と呼ばれます。 $U_j$ $U_1+...+U_m$
和が直接和である場合、ここでの記号はここでの和が直接和であることを示すために使用され $U_1+...+U_m$ ます。 $U_1\oplus...\oplus+U_m$ $U_1+...+U_m$ $\oplus$