計量ベクトル空間とベクトル空間
また、空間線形ベクトル空間と呼ばれる、ベクトル空間のベクトルは、線形結合を同封します。場合は 
空間Vの基底ベクトルの集合であり、それは 
ベクトル空間Vにまだ ベクトル空間では、唯一のベクトル乗算及び加算演算を定義します。これに基づいて、内積演算によって定義される内積演算は、ベクトル長の概念を解決することができ、したがって計量ベクトル空間を定義するベクトルの間の角度。設定ベクトルはXが長さとして定義され、X、Yであり 
、Xは、Yとの間の角度として定義されます 
。
二つの内積
内
空間、以下のベクトル 
と
、幾何学的形状で、ベクトルの長さが、ピタゴラスの定理によれば、そのエンドポイントへの原点からの距離を表します 
。内積が定義され 
、ベクトルXの長さに等しい 
内積の長さとの関係を確立するように、。
複素ベクトル空間では
、次のベクトル との内積が定義されています 
。複素ベクトルの内積を理解するには？まず第一に、単一の複雑なため 
、
そこ 
は、共役複素乗算は、長さを解決することができます。ときに、2回の異なる複素共役乗算
、結果は依然として複素数であり、それは実数と虚数成分の分類に分解することができます。得られた複合体の複素ベクトル内積の結果を加算することによって得られ、最終的な結果は、典型的に、すなわち、結果は、一般に、実数成分と虚数成分部分を含む 
形で。
内積は次の性質を満たします：
1）正：Vがゼロベクトルである場合、<V、V >> 0、固体複素ベクトルのベクトルの性質に該当します。
2）共役対称性：
複素ベクトルのため、式は実数ベクトルについて成り立つ、それは共役演算自体、内積計算対称に等しいです。
3）均一性：
複素ベクトルcは複素数である場合のために、Cは実数実ベクトルです。
4）リニア：<U + V、W> = <U、W> + <V、W>、<U、WのV +> = <U、V> + <U、W>、実数ベクトルとの複素ベクトルのための彼らは、設定されています。
三つの 
スペースと 
スペース
関数f（t）であるような信号は、セクションにおいて、発現させることができる 
空間上の 
組成物の全ての正方形積分関数、すなわちの空間を示し、
関数f（t）は区間内測度ゼロの集合を考慮することなく、ルベーグビュー、すなわちを使用して、不連続点が無数に存在してもよい 
一体と限られました。N次元ベクトル空間、次元Nの空間ではなく、ベクトル長Nの アナログN次元ベクトル空間、空間は 二次元無限である（すなわち、Fの無限の数（t）が上記条件を満たして）、間隔は 無限に薄くてもよい、ベクトルの長さと同様に無限であることができます。
（x）は、G（XはFと仮定 ） であり、 
Nは、構成ベクトルである信号空間、区間[0、1] Nアリコートに離散化され 
、 
場合Nが大幅に無限大に近づき、
、 
その後 
、 
。
次第にNを増加させる際に、 
徐々にので、増加 
の製品の定義は、この方法によって限定された空間次元によるベクトル空間における無限大の値を（得、および製品定義を使用する場合、無限次元空間の空間合理的な物理的な意味は）非常に明確です。そこに無限であり、平均するための改善された方法 
。Nが無限大に近づくと、この式は近似であり、リーマンは、
内積は以下のように定義することができます。
、 
。
同じ製品ポジティブ、共役対称性、均一性および他の特性の線形を満たすためのスペース。
ルベーグ積分プロセスので、不連続点の尺度がゼロである場合、考慮されていない 
2つの関数はゼロに等しいことに加えて定義された空間があれば、F（t）として= G（T、その測定セットを意味する ） 機能の他の領域、すなわちその等しいです。
信号処理アプリケーションでは、多くの離散的な無限の配列が存在する
配列は、離散jは、> | N |時間、
定義 
離散フォーム。
、もはや存在れているように 平均値として定義されるJの離散的な配列がなく> | N |、 。