機械学習 - 線形代数 - 逆写像とベクトル空間

逆マップとベクトル空間

1. 逆マッピング

マトリックスの本質はマップです。m×nm×nの場合$メートル\times n$の行列、乗算$y=Ax$の機能は、 nnからベクトルを変換することです。$n$次元の元の空間の$x-$座標位置、 mmにマッピング$m$次元ターゲット空間$y$座標位置。これはフォワード マッピングのプロセスです。次に、結果ベクトルの座標$y$は元のベクトルの座標$x$の場合、このプロセスは逆マッピングと呼ばれます。逆マッピングもマッピング プロセスであるため、逆マッピングを表す行列は次のように呼ばれます。${あ}^{-1}$。

上の式から、元の行列と逆行列の関係が全単射であることが明確にわかります。これは逆行列が存在するための必要十分条件でもあります。

1. チャンキー行列マッピングは元に戻せません

マッピングは元のベクトル空間を圧縮して、単射条件を満たさないようにします。つまり、元の空間はターゲット空間に対して多対 1 の状況になります。

2. 高くて薄いマトリックス マッピングは元に戻せません

ターゲット ベクトル空間は元の空間ベクトルで完全にカバーできず、全射条件が満たされません。ターゲット空間と元の空間の間に多対 1 の状況が存在します。

3. 正方行列逆写像の存在条件

正方行列の列ベクトルが線形関係にあり、short 行列と total 行列のすべての条件を組み合わせると、逆写像は存在しません。

正方行列の列ベクトルが線形関係にある場合、逆写像が発生します。なぜでしょうか? 後ほど説明があります。

2. ベクトル空間とその部分空間

1. ベクトル空間

1) 最も一般的なベクトル空間: $R^n$

$R^n$スペースはすべてのnnで構成されます$n$成分の列ベクトル

2) ベクトル空間の一般定義

ベクトル空間は$R^n$、もちろん、狭い意味でのベクトル空間についてのみ説明します (行列、関数空間などの一般化されたものや複素体への拡張については説明しません)。次に、ベクトル集合 VV について説明します$V$ 、 V 内の任意の$u$和$v$ 、 u + v u + vである限り$u+v\; は$まだ$V$では、同時にスカラー$c$ 、 cu cuを満たす限りまだVV$にいるの$$ね$$V$、次に設定された$V\; は$ベクトル空間を構成します。

2. 亜空間

サブセットとセットの間の関係を使用して、部分空間とベクトル空間の間の関係を比較します。ベクトル空間$U$、彼のサブセット$V\; は$ベクトル空間でもあります (ベクトル加算とスカラー倍算のプロパティ要件を満たします)。その場合、$V$是$U$の亜空間。

$メートル\times n$行列$A$、行列に含まれる 4 つの非常に重要な部分空間: 列空間、NULL 空間、行空間、および左 NULL 空間。

1) 列スペース

マトリックス$A$に関する限り、$ん$mm_$m$次元の列ベクトル、次に$A$の列スペースには、すべての$ん$mm_$m$次元の列ベクトルの線形結合。各列はR m R^mにあるので$R^m$空間であり、列空間内の任意の 2 つのベクトルの合計と、任意のベクトルと任意のスカラーの量的積は、引き続き列ベクトルの線形結合として表現できます。これは、列空間 C ( A ) C( A ) が次のように表現されることを意味します$C\left(A\right)$はベクトル空間であり、$R^m$空間の部分空間。

2) 空白スペース

m×nm×nの場合$メートル\times n$行列$A$に関する限り、すべては$あ\times =0$のベクトル$x$の集合は行列$A$の null 空間。 N ( A ) N(A)と表記されます。$N\left(A\right)$、行列$A$の列はxxAA$の場合、\; x\; は$ゼロ ベクトルの一意の解のみを持ちます。$A$の列は$x$にはゼロ以外の解があります。null 空間は、 m × nm \times n
のベクトル空間でもあります。$メートル\times n$の行列の場合、ヌル空間内のベクトルは$n$次元なので、ヌル空間は$R^n$の部分空間

3) 行間

m×nm×nの場合$メートル\times n$行列$A$、その行空間は行列の各行のベクトルによって形成される空間です。それでは、$A$の行ベクトルは、転置後は${あ}^n$の列ベクトルしたがって、行列AA転置後の$A$${あ}^T$の列空間。 C ( AT ) C(A^T)として表されます。$C(A^{た}）$、$A$の行ベクトルにはnnがあります$n$個のコンポーネントがあるため、行スペースは$R^n$の部分空間

4) 左空白スペース

転置行列の観点から理解すると理解しやすくなります。m×nm×nの場合$メートル\times n$行列$A$、彼の左のヌル空間は転置行列${あ}^{}$AT x = 0 A^Tx =0を満たす${}^{Tのヌル空間}$${あ}^T\times =0\; の場合$は、 N ( AT ) N(A^T)と表します。$N(A^{た}）$。
左ヌル空間の関連するプロパティを取得するのは難しくありません。それは$R^m$空間の部分空間。

これで、正方行列内の列ベクトルのみが線形関係にある場合に、なぜ逆写像が存在するのかに答えることができます。

マトリックス$A$には逆マッピングがあります。これは、マッピングされた点を一意に復元できることを意味します。したがって、明らかにヌル空間$N\left(A\right)$は 1 次元の直線や 2 次元の平面に対応できず、元の空間では$0$ベクトル、つまり行列が可逆であれば、その$N\left(A\right)$は0 0でなければなりません$0$次元。

AAの場合$A$のヌル空間はゼロ次元ではなく、列空間に線形結合されたゼロ ベクトルのセットが複数あります。つまり、元の空間の複数のベクトルがゼロ ベクトルにマッピングされており、これは準拠していません。 1対1の関係に。

3. ランク

行列の列ベクトルまたは行ベクトルの範囲空間の次元、行列の線形独立列の数。

1) 列スペースとヌルスペースの関連付け

マトリックス$列$スペース$C\left(A\right)$の次元は行列AAです$A$ランク$r$。
ヌル空間、幾何学的に言えば、ヌル空間は元の空間の行列$A\; は$ターゲット空間の原点のベクトル空間にマップされますが、定義上、これは列空間内にも存在する必要があります。この$メートル\times n$の行列マッピングの作用により$x$は0 0に圧縮されます$0$ (つまり、点の次元) の場合、$x$次元領域は列空間で$0$次元の点なので、行列の線形マッピングの後、前後の空間次元の差も$x$、$A$が変換される元の空間はnnです$n$次元、マップされた列空間は$r-$次元、2 つの空間の次元の差$n-r$は空間圧縮の次元です。n$n-r$はヌル空間$N\left(A\right)$寸法。

2) 列スペースと行スペースの関連付け

行列では、線形に独立した行ベクトルの数が実際に線形に独立した列ベクトルの数と等しいことを見つけるのは難しくありません。

したがって、行スペース$C\left(A^T\right)$rrでもあります$r$。

3) 行間と左空白スペース

上記の 2 つの関連するステートメントから、$C(A^T$ ) の寸法は$r$、一方、行列${あ}^T$に対応するマッピング前の元の空間は$m$、次に左のヌル空間$N\left(A^T\right)$の次元は$メートル-r$。