空間における三次元点1
3次元空間P内に3点（X、Y、Z）におけるT、その同次座標4要素ベクトル（X- 1、X- 2、X- 3、X- 4）T、（（X-として表現正規化することができます、Y、Z ,. 1）Tは、場合X- 。4 = 0、点は無限大であることを示しています。
3次元空間P 3点に射影変換、4×4行列Hによっては、得られたビューを整列させることにより、非特異ベクトルXである左、即ち、X「= HX。変換行列Hは、15自由度に加え、任意の倍率を有します。
2.三次元空間の平面
二次元空間の方法は、直線、平面三次元空間は、次式のように表すことができる類似度を表します
P 1 X + N 2 Y N + 3 Z + P 4 = 0
したがって均質平面は=π・（πとして表される。1、[PI] 2、[PI] 3、[PI] 。4）T、3自由度を有しています。式を省略することができます
π T X = 0
これは、その点= X-（X、Y、Zは,. 1）を意味し、Tは 平面π上に配置されます。
3.平面自然
三つは、平面を決めました。3線形独立点X-たIは、のために I = 1,2 ,. 3、それらは、π満たすために、平面π、すなわち、上に配置されているT X- I = 0。得られたマトリックスを積み重ねます
従って、平面πは3×4行列のヌル空間ベクトルであり、任意の比率の尺度であることができる、一意に決定されます。
平面P内の空間2の二点によって決定直線では、ヌル空間ベクトル法を用いて解くことができる直線Lに加えて、2点均質の外積によって= X×Y Lを直接得ることができます。三次元空間Pにおいて3、また、外積の平面と同様の方法によって解決されます。
3つの平面その決定。3つの線形独立平面のπ有するIに対する I = 1,2 ,. 3は、それらが式Xの交点によって決定することができます
点Xは、零空間ベクトルの3×4行列です。これは、空間平面Pである2二行の三次元空間Pの点で交差する。3拡張。
投影変換。変態点X「は、低級HXを=、変換平面は以下のように表されます。
P「= H -T P
パラメータ化。平面上の点Xは、πのように記述することができます
X =はMx
前記行列の各列Mは、π4x3のあるT零空間、すなわち、[PI] T M = 0。3元Xは、2次元空間Pにおけるベクトルx表す2に投影し、パラメータ化点Xであります
4.三次元空間における直線
これは、2つの点を結ぶ直線、又は二つの平面の交点として定義することができます。三次元空間内の点は、3自由度、2つの接続点Aを有し、Bは以下の式を満たします
（3つの自由度があるので、3×4行列のヌル空間）見られ、これは直線L 2×4行列零空間であり、それは4自由度を有しています。空間Pに3が5要素ベクトル、均一な面があるため、対象物4の自由度で均質困難で表され、点は4要素ベクトルで表されます。この問題は表現が難しい表し解決する方法はいくつかあります。
直線の図の組み合わせ。直接Wが表される2×4のマトリックス上直線で三次元空間：
グループ代表ベクトル空間は、スパンとして、2つのポイントは、これらの2点の組み合わせを含んでいます。直線は、実際にWの零空間であります 一方、零空間Wは、2つの直線の独立したベクトル群必要WP = 0次いで、2つのグループはベクトルP及びQであると仮定し、したがってT P = B T P = 0、P手段これは、点Aと点Bを含む面であります Qは、点Aと点Bを含む同一平面であります 次のように直線が2×4の行列として表現することができるように、したがって、直線は、これら二つの平面との交点です。
これは、空間の基底ベクトルで張られる2つの平面を表しています。直線は、実際にW *零空間です。
この組み合わせの表現はまた、例えば、飛行機は、代替的に、即ち、ポイント及び結合行列M Wの直線Xとして表される、π平面に拡張することができます
平面πは、行列Mのヌル空間であります 行列Mは3×4行列であり、それは、三同一平面上の点の組み合わせとして見ることができます。
三次元空間における二次曲面（二次曲面とデュアル二次曲面）
空間P 3。次式で定義のQuadrics。
X T QX = 0
前記Qは、二次曲面を表すために使用される対称4×4行列です。
二次表面特性：
（1）自由の二次9度、プラススケールファクタ。
（2）二次9つの線形独立点により決定されます。
（3）偏光面と（線と点との間の円錐分極関係で定義される2次元空間と同様）点間の二次関係を定義します。ポール平面Qに対して点Xは、次のとおりです。
P = QX
（4）二次Q平面πと二次曲線と交差C.
（5）= HX射影変換X」の時点で、二次曲面に変換しました。
Q」= H -T QH -1
（6）二次二重のはまだ二次です。射影変換点X「= HXにおいて、デュアル二次曲面に変換しました。
Q *」= HQ * H T
目に見える、二重の二次変換ポイントの二次よりも簡単に計算を変換します。