まず、ベクトル空間
線形代数はベクトルや行列数学の研究である、行列ベクトルが構築されるので、線形代数は、プロパティの科学ベクトル、ベクトル空間とベクトルの線形結合を研究することです。
すなわち、我々はいくつかの基本的なベクトル演算があることを知って、ベクトル加算、スカラー、ベクトルを乗じ、各成分は合計に相当するベクトルは、スカラ乗算の各成分ベクトルです。
$ \ mathbf {U} + \ mathbf {V} = \左（U_ {1} + V_ {1}、U_ {2} + V_ {2}、\ドットU_ {N} + V_ {N} \右） $
左の$ k個の\ mathbf {U} = \（右\ {1}、{2}、\ ldotsは、{N} U_ k個U_ k個U_をK）$
のが何であるかスペースなので、基本的な機能をいくつかのスペース何について話しましょう。例えば三次元空間、：
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- 1：点多くの（実際に無限の数）場所
- 2：これらの対向点間の関係があります
- 3：あなたは、スペースで角度を長さを定義することができます
- 4：このスペースは動きを収容することができ、我々がここで話していると、運動（変換）の別の一点からの移動ではなく、計算の意味での運動の「連続」性質であります
：前記第4条の動きを受信することが不可欠な特徴空間です。
点のベクトル空間のような場合には、形質転換ベクターは、空間中のこの動きの点です。だから、ベクトル空間が設定され、いくつかの乗り心地のベクトル加算のこのセットは閉じられています
言い換えれば、限り、この空間のベクトルとして、その後、いくつかの方法の動きの追加に合わせてベクトルを掛け、それがこの空間であったであろう。したがって、いくつかの乗算ベクトル空間密閉空間の添加は、線形と呼ばれ
ベクトル空間を定義した後、我々はベクトル空間の最も一般的なタイプを見てみましょう。
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- $ \はMathbf {R} ^ {N} $場合$ N = $ N- $実数ベクトルの集合の全ての寸法は、$ N = 2 $は、平坦である場合に、寸法$ N- $実ベクトル空間を定義します3 $おなじみの三次元空間であります
- $ \ mathbf任意の二つのベクトルがある場合は、それを見るのは簡単です{U}、\ mathbf {V}ベクトル空間で$、そして$ \ mathbf {U} + \ mathbf {V}このスペースでは必ずしもも$そして、$ C \ mathbf {uが} $この空間でもあります
第二に、部分空間
上記の我々は、量子宇宙に見て、ベクトル空間を説明しています。私たちは知っている、$ \ mathbf {R} ^ {n}がすべてのディメンションの$ n $を含む$が実数ベクトルであるが、時には、私たちは、私たちに必要な部分のみを検討の$ n $次元の実ベクトルのすべてを考慮する必要がないかもしれません$ N $次元の実ベクトル
その後、実数ベクトルまたは空間配置のセットのこの部分は、部分空間と呼ばれます。部分空間は、ベクトル空間の部分集合と見なすことができ、それ自体が閉鎖サブセットです。
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- これは、任意の二つのベクトルが$ \ mathbf {U}が存在する場合、ある、\ mathbf {V}の部分空間で$を、そして$ \ mathbf {U} + \ mathbf {V} $がこの部分空間でも避けられませんそして、$ C \ mathbf {U}このサブスペースでも$。乗算閉じ満たすためにため、
- すべての部分空間は、$ \ mathbf {0} $ベクトルを含める必要があります
したがって、4つのサブの三次元空間が存在し得ます。
- 原点を通る直線
- 原点を通る平面
- 三次元空間そのもの
- 0ベクトル
したがって、要約すると、ベクトル空間は、ベクトルの集合であり、部分空間は、ベクトル加算することによって、いくつかの閉鎖を満たす関係なく、ベクトル空間又は部分空間のセットのサブセットであります
第三に、行列の列空間
行列を仮定します。
$ A = \ {1}と{1}＆[\開始{アレイ} {LLLを}左{2} \\ {2}・{1}と{3} \\ {3}・{1}と{4 } \\ {4}と{1}と{5} \端{アレイ} \右] $
カラム空間の$ C（A）は、最終的にマトリックス$の$の\ mathrm {R} ^ {4} $の部分空間は、$ C（A）$ですか？実際には、$ C（A）$は、列の行列の$ A $の線形結合、どのような役割最後に行列の後、列空間のですか？
以下は、3つのベクトルの組み合わせが全体をカバーすることはできませんので、$、最初の$ Ax = bの$は、すべての$ bは$のためのソリューションを持っていません$ Ax = bのをより良く理解するまで、我々は線形方程式の列空間に連絡します4次元空間、そして方程式が解を持つ$ bは$の種類を作るのだろうか？
まず、式クラスベクトルがゼロである場合$ Bが$ときことは明らかである：$ \開始\ [左{アレイ} {1} {0} \\ {0} \\ {0} \端{アレイ} \ bがゼロベクトル方程式の可解であるときは常に右] $、
実際に、我々は$ $の列の線形結合は、すなわち時に$ bの$はこの方程式の唯一の解決策があることがわかっている場合にのみ、それについて考える場合と$ b $は$に$列空間の$ Cを属している場合にのみ、（A）$ $ Ax = bのの$唯一のソリューション
それは何時間解ける方程式を教えてくれるので、したがって、行列の列空間は非常に重要です。