不等式の証明方法

不等式の証明方法

比較法

• 主に0との差分構造を指します。

• なぜなら$ある>b$ $\iff$ $ある-b>0$したがって、$ある>b$ 、 a − b > 0 ab>0を証明するだけで済みます$ある-b>0$、

• 同様に、$ある<b$ 、 a − b < 0 ab<0を証明するだけで済みます$ある-b<0$

• この方法は構築方法に属し、不等式を証明する関数を使用できます。

• 多項式の整数と分数の不等式の証明によく使用されます。

例

• $(\times +1)(\times +2)$ xx付き$x$のサイズ
• $y=(\times +1)(\times +2)-x$ =${バツ}^2+2倍\_+2$ =$(\times +1{)}^2+1⩾1>0$
• したがって、$(\times +1)(\times +2)>バツ$

例

• 若$b、{メートル}_{}、{メートル}_{}>0$ ; $ある<b、{メートル}_{}<{メートル}_{}$, $\frac{a+m_{}}{b+m_{}}<\frac{a+m_{}}{b+m_{}}$

• 証明する：

  • 构造$y=\frac{a+m_{}}{b+m_{}}-\frac{a+m_{}}{b+m_{}}$
    • $=\frac{(a-b)(m_{}-{メートル}_{}}{(b+m_{})(b+m_{})}$
  • による$b、{メートル}_{}、{メートル}_{}>0$有$(b+{メートル}_{})(b+{メートル}_{})>0$
  • ○ $ある<b、{メートル}_{}<{メートル}_{}$それぞれ$ある-b<0、{メートル}_{}-{メートル}_{}>0$
  • 所以$y<0$、$\frac{a+m_{}}{b+m_{}}<\frac{a+m_{}}{b+m_{}}$

• この例は、x ( x > 0 ) x(x>0)の場合を示しています。$x(x>0)$増加、$y=\frac{a+}{b+x}、(b>0)$も増加します。

  • 特に$ある=0、b=1$ ,$f\left(x\right)=\frac{}{1+\times }$[ 0 , + $[0,+\infty )$増加 ($f\left(x\right)=\frac{}{1+\times }=\frac{}{{バツ}^{-1}+1}$明らかに増えてます）
  • によって$f\left(x\right)=\frac{}{1+\times }$[ 0 , + ∞ ] [0,+\infin]で$[0,+\infty ]$と絶対値不等式$||\_+|b|⩾|a+b|\; に$は結論があります: if$、\_b\in R$ ,$\frac{|a|+|b}{1+|a|+|b|}$ $⩾$ $\frac{|a+b}{1+|a+b|}$

事業法

• わあ$、\_b>0$、$\frac{}{b}>1$ ,则$ある>b$ ;
• わあ$、\_b>0$、$\frac{}{b}<1a$ <$ある<b$

包括的な方法

• 不等式を証明する場合、既知の命題の条件から公理や定理などを用いて段階的に導出することが多く、最終的に証明される命題は包括的方法と呼ばれます。

例

• 设$、\_b、c>0$で合同ではない ($ある=b=c$ ),则$(\_+b)(b+c)(c+）\_>8ABC\_$
• 証明: 条件から$、\_b、c$には等しくない数値が少なくとも 2 つあるため、$ある\ne b$、その後
  • $ある+b>2\sqrt{腹筋}$
  • $ある+c⩾2\sqrt{bc\_}$
  • $c+ある⩾2\sqrt{ca}$
  • 可见$(\_+b)(b+c)(c+）\_>8ABC\_$
  • 注: $ある=b=c$ ,则$(\_+b)(b+c)(c+）\_⩾8ABC\_$

分析

• 場合によっては、証明する必要がある命題から始めて、命題が成立するための十分条件(多くの場合、必要十分条件) を分析し、既知の定理を使用して、条件、明白な事実、または命題によって与えられる定理を演繹することが可能です。この方法を分析法といいます。

例

• 2 + 7 < 3 + 6 \sqrt2+\sqrt7<\sqrt3+\sqrt6 であることを証明します。$\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
• 分析：
  • $\Leftarrow$ $(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2<(\sqrt{3}+\sqrt{6}{)}^2$
  • $\Leftarrow$ $2+2\sqrt{14}+7<3+2\sqrt{18}+6$
  • $\Leftarrow$ $\sqrt{14}<\sqrt{18}$
  • $\Leftarrow$ $14<18$
  • 最後の不等式は明らかに真であり、元の不等式が真であることを完全に示すことができます。
• 包括的な方法:
  • $14<18$ $\Rightarrow$ $\sqrt{14}<\sqrt{18}$ $\Rightarrow$ $2+2\sqrt{14}+7<3+2\sqrt{18}+6$ $\Rightarrow$ $(\sqrt{2}+\sqrt{7}{)}^2<(\sqrt{3}+\sqrt{6}{)}^2$ $\Rightarrow$ $\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$
• コントラスト: この例では、分析方法を使用する方がはるかに自然で簡単です。

まとめ

• 合成法で証明できる不等式は分析法でも証明でき、その逆も同様です。
• 複雑な問題の場合、分析手法と合成手法が組み合わせられることもあります

矛盾による証明

• 証明されるべき命題が間違っていると仮定し、既存の公理、定理、命題の条件を使用して、証明された命題や定理の条件に該当する結論、または事実が矛盾している結論を導き出します。仮定が真ではないことを説明すること、つまり元の命題が成立することを説明すること、この方法は矛盾による証明と呼ばれます
• 矛盾による証明は、結論の反対から始まり、命題の否定が偽命題であることを証明して、元の命題が真であることを示します
• アンチテーゼに対する結論の数が限られており、これらの反対の状況が成立しない（不可能である）ことが証明された場合にのみ、元の命題は矛盾の方法によって証明できます。

例

• 若$ある⩾b>0$ ,$n\in N^{+}、n⩾2$,则$\sqrt[n]{ある}⩾\sqrt[n]{b}$
• 証明: $\sqrt[n]{ある}<\sqrt[n]{b}$、$ある<b$ 、条件a ⩾ b > 0 a\geqslant{b}>0と同じ$ある⩾b>矛盾が0\; で$あるため、元の命題が成り立ちます ($\sqrt[n]{ある}⩾\sqrt[n]{b}$)

例

• 若$ある+b+c>0、ABC\_>0、腹筋+bc\_+ca>0$ ,则$、\_b、c>0$
• 証明: $ある>0$は真ではありません。つまり、$ある⩽0$
  • $ある<0$時
    • abc > 0 abc>0によって$ABC\_>0$有$bc\_<0$、
    • → $ある+b+c>0$有$b+c>-\_>0$、$a(b+c)<0$、すなわち$腹筋+ac<0$
    • 综上、$腹筋+ac+bc\_<0$、命題の条件に矛盾します
  • $ある=0$時
    • $ABC\_=0$および命題条件$ABC\_>0$矛盾
  • 要約すると、$ある⩽0$は真ではないので、$ある>0$
  • 同様に、$b>0、c>0$
  • したがって、元の命題は成り立ちます

スケーリング

• 証明を容易にするために、証明された不等式の値を適切にスケーリング (拡大または縮小) する必要がある場合があります (たとえば、形式から)。この方法はスケーリング法と呼ばれます。
• スケーリング方法の鍵は、適切にスケーリングすることです
  • 証明する不等式に分数が含まれる場合（分子と分母の符号が同じ）、通常、スケーリング方法は 2 つあります。
    • 分母を拡大し、分数の値を縮小します
    • 分母を減らして分数の値を大きくします
    • 同様の多分子スケーリング

例

• 若${ある}_{}、{ある}_{}、{ある}_{}、{ある}_{}>0$ ,则0<${\sum }_{i=1}^{}\left(\frac{{ある}_{}}{{\sum }_{j\in }{ある}_{}}\right)$<2,其中$S=\left\{\right\{1、2、3、4\}-\{(私+2)\%4\left\}\right\}$

  • 結論の別の説明: $0<\sum _{i=1}\frac{{ある}_{}}{{ある}_{j_{}}+{ある}_{j_{}}+{ある}_{j_{}}}$,其中$j_{}=私、j_{}=(私は+1)\%4、j_{}=(私は+2)\%4$

• 证明:设$メートル={\sum }_{i=1}^{}(\frac{{ある}_{}}{{\sum }_{j\in }{ある}_{}}）$、

  • 分母を${\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}$分数の加算が可能になり、新しい式は${メートル}^{』}=\frac{{\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}}{{\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}}=1$ ,而${メートル}^{』}<m$ ,则$1<メートル$
  • m 1 = a 1 a 1 + a 2 、m 2 = a 2 a 1 + a 2 m_1=\frac{a_1}{a_1+a_2},m_2=\frac{a_2}{a_1+a_2 }${メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}、{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$, ${メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}、{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$
  • 显然$\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$
  • 将上述4个不等式同侧相加,得$メートル<{\sum }_{i=1}^{}{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$= $2$
  • 所以$1<メートル<2$不等式が証明される

• 若${ある}_{}、{ある}_{}、{ある}_{}、{ある}_{}>0$ ,则0<${\sum }_{i=1}^{}\left(\frac{{ある}_{}}{{\sum }_{j\in }{ある}_{}}\right)$<2,其中$S=\left\{\right\{1、2、3、4\}-\{(私+2)\%4\left\}\right\}$

  • 結論の別の説明: $0<\sum _{i=1}\frac{{ある}_{}}{{ある}_{j_{}}+{ある}_{j_{}}+{ある}_{j_{}}}$,其中$j_{}=私、j_{}=(私は+1)\%4、j_{}=(私は+2)\%4$

• 证明:设$メートル={\sum }_{i=1}^{}(\frac{{ある}_{}}{{\sum }_{j\in }{ある}_{}}）$、

  • 分母を${\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}$分数の加算が可能になり、新しい式は${メートル}^{』}=\frac{{\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}}{{\sum }_{j=1}^{}{ある}_{}}=1$ ,而${メートル}^{』}<m$ ,则$1<メートル$
  • m 1 = a 1 a 1 + a 2 、m 2 = a 2 a 1 + a 2 m_1=\frac{a_1}{a_1+a_2},m_2=\frac{a_2}{a_1+a_2 }${メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}、{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$, ${メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}、{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$
  • 显然$\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$, $\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}+a_{}}<{メートル}_{}$
  • 将上述4个不等式同侧相加,得$メートル<{\sum }_{i=1}^{}{メートル}_{}=\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}+\frac{{ある}_{}}{{ある}_{}+a_{}}$= $2$
  • 所以$1<メートル<2$不等式が証明される

例

• スケーリング法は、いくつかの対数相関不等式の証明に便利で効果的です。
• 例: ${ログ\_}_{}3>{ログ\_}_{}4$
  • 対数特性より${ログ\_}_{{ある}^{}}{b}^n=nm{\_}^{-1}{ログ\_}_{}b$、$nm{\_}^{-1}=1$、つまり$メートル=n$のとき、${ログ\_}_{{ある}^{}}{b}^n={ログ\_}_{}b$
  • ${ログ\_}_{}3={ログ\_}_{2^{}}{3}^3={ログ\_}_{}27$ >${ログ\_}_{}27$
  • ${ログ\_}_{}4={ログ\_}_{3^{}}{4}^2={ログ\_}_{}16$ <${ログ\_}_{}27$
  • 可${ログ\_}_{}4<{ログ\_}_{}27<{ログ\_}_{}3$
  • 即${ログ\_}_{}3>{ログ\_}_{}4$

ジオメトリ

• 幾何学の応用も不等式を証明する重要な方法です
• 通常、対応する幾何学形状 (単位円、長方形など) は比較される式に従って構築され、幾何学的属性 (面積など) の比較は式間のサイズ関係を証明するために使用されます。

例

• 证明: $0<罪バツ<バツ<\mathrm{黄褐色}x$ ,$バツ\in (0,\frac{}{2})$
  • デカルト座標系$xOy$において、単位円 O (半径$r=1$)
  • ウィルアングル$x$の開始エッジはxxに配置されます$x$軸、$x$の開始エッジは円$O$于点$あ$
  • 角度$x$の終端辺は円$O$点 B、AAxxの$A$$X$軸$OB$延長コードCCまで$C$ ($OC⩾1$ ); 点BBxxの$B$$x$軸の垂線は点$D$
    • 記号の説明: $トリABC、\_\_sectABC\; は$それぞれ三角形 ABC と扇形 ABC を表します
    • $S_{トリオAB\_\_\_}=\frac{}{2}|OA||BD|$ =$\frac{}{2}罪バツ$
    • $S_{秒OA}=\frac{}{2}x|OA{|}^2=\frac{}{2}バツ$
    • $S_{トリオAC\_\_\_}=\frac{}{2}|OA||AC|$ =$\frac{}{2}\mathrm{黄褐色}バツ$
    • 幾何学的な観点から、$0<S_{トリ・A・}<S_{秒A}<S_{トリオAC\_\_\_}$,从而$0<\frac{}{2}罪バツ<\frac{}{2}バツ<\frac{}{2}\mathrm{黄褐色}x$ ,即$0<罪バツ<バツ<\mathrm{黄褐色}バツ$

例

• ∣ sin ⁡ x ∣ ⩽ ∣ x ∣ |\sin{x}|\leqslant{|x|} であることを証明してください。$|罪\times |⩽|x|x\; の場合$∈$バツ\in R$ヘン設立
• 証明: 合成法を使用して証明します。
  • 上の例: $0<罪バツ<バツ<\mathrm{黄褐色}x$ ,$バツ\in (0,\frac{}{2})$ ; そして$バツ=0$时$罪バツ=罪0=0$、$|罪0|=|0|$
    1. 当$バツ\in [0,\frac{}{2})$のとき、$|罪\times |=罪バツ⩽バツ=|\times |$
    2. 当$バツ\in (-\frac{}{2}、0)$時、$-\times \in (0,\frac{}{2})$ 、 ( 1. ) (1.)によって$\left(1.\right)$和$罪-\times =罪x$は次を示します:$|罪(-x)|⩽|-x|$、つまり$|罪\times |⩽|\times |$
    3. 当$|\times |⩾\frac{}{2}$, $\frac{}{2}⩽|x|$、および$|罪\times |⩽$任意のxx$の場合は1$$x$が成り立つため、$|罪\times |⩽1<\frac{}{2}⩽|x|$、つまり$|罪\times |<|\times |$
  • 要約すると、元の命題は成立します