ジェンセンの不等式

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定義のための：凸関数\（F \） 、有する所望の値の関数は、所望の関数に等しい値よりも大きい：\ [E [F（X）] \ GEQ F（E [X]）\ ] 式れる\（X \）とすることができる確率変数であり、離散的または連続的と仮定すると、\（X〜Pは、（X）\） 。
凸関数が定義されて思い出してください：任意の値のための（X_1、X_2 \）\、そしていずれかの（0 \のLeq T \のLeq 1 \）\である：\ [TF（X_1）+（1-T）。 F（X_2）\ GEQ F（ tx_1 +（1-T）X_2）\] 関数の上記の定義は、実際に任意の2点間の値の関数は、対応する補間（より小さい関数値に等しいされる加重平均）。
離散変数の\（P（X = X_I）= P_I、で\ FORALL I \ [1、N-] \） 、式はここで、のように書き換えることができる\（\ sum_ {i = 1 } ^ N P_I = 1 \ ）：\ [E [F（X） = \ sum_ {i = 1} ^ N p_if（X_I）\\ F（E [X]）= F（\ sum_ {i = 1} ^ np_ix_i）\\ \ RIGHTARROW \ sum_ {i = 1} ^ np_if
（X_I）\ GEQ F（\ sum_ {i = 1} ^ np_ix_i）\] 連続変数の積分形式：\ [E [F（X）] = \ INT F（X） P（X）DX \\ F（ E [X]）= F（\ INT XP（X）DX）\\ \ RIGHTARROW \\ \ INT F（x）をP（X）DX \ GEQ F（\ INT XP（ X）DX）\]
定積分の形のために：\ [\ ^ int_a BF（X）P（X）DX \ GEQ F（\ ^ int_a BXP（X）DX）\]
から分かるように、上記で定義された凸関数を離散フォームのジェンセンの不等式は、特殊なケースである（順序\（= N-2、T = P_1、P_2。1-T = \） ）。