標準化
確率変数 x に数学的期待値E ( x ) = μ E(x) = \mu があるとします。E ( × )=μ、分散D ( x ) = σ 2 D(x) = \sigma^{2}D ( × )=p2。X∗ = X − μ σ X^{* } =\frac{X-\mu }{\sigma }バツ∗=pX − mの場合、X* の期待値と分散は次のようになります。E ( X ∗ ) = 1 σ E ( X − μ ) = 1 σ [ E ( X ) − μ ] = 0 E(X^{*})= \frac{1}{\sigma} E(X-\mu)=\frac{1}{\sigma }[E(X)-\mu]=0E ( X∗ )=p1E ( X−メートル）=p1[ E ( X )−メートル]=0 D ( X ∗ ) = E ( X ∗ 2 ) − [ E ( X ∗ ) 2 ] = E [ ( x − μ ) 2 σ ] = 1 σ 2 E [ ( X − μ ) 2 ] = σ 2 σ 2 = 1 D(X^{*})= E(X^{*2})-[E(X^{*})^{2}] =E[\frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma } ] {1}{\sigma ^{2}}E[(X-\mu)^{2}]=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1D ( X∗ )=E ( X※ 2）−[ E ( X∗ )2 ]=E [p( ×−メートル）2]=p21E [ ( X−メートル）2 ]=p2p2=1はX ∗ X^{*}
ですバツ∗の数学的期待値は 0、分散は 1 です。
X ∗ X^{*}バツ∗は X の標準化された変数です。つまり、一般正規分布は標準化された後の N(0,1) の標準正規分布に従います。
チェビシェフの不等式
確率変数 X の期待値 μ と分散 σ が存在する場合、任意の ϵ >0 に対して
P { ∣ X − μ ∣ ≥ ε } ≤ σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} が存在します。P{
∣ X−μ ∣≥e }≤e2p2
この不等式はチェビシェフの不等式と呼ばれ、次のように等価的に書くこともできます:
P { ∣ X − μ ∣ < ε } ≥ 1 − σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}}P{
∣ X−μ ∣<e }≥1−e2p2
たとえば、ε \varepsilonの場合εトリ3σ \シグマσ、 P { ∣ X − μ ∣ < 3 σ } ≥ 1 − 1 9 ≈ 88.89 % P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \およそ 88.89\%P{
∣ X−μ ∣<3P } _≥1−91≈8 8 . 8 9 %
この不等式については、次の特性が表されます。
- ランダム時間のほとんどは平均値付近に集中します。
- σ 2 が小さい場合、イベント \sigma^{2} が小さくなり、イベントp2の方が小さい場合、イベント<ε } P\left \{ |X-\mu|< \varepsilon \right \}P{ ∣ X−μ ∣<ε }の確率が大きいほど、確率変数 X が予想されるアタッチメントに集中する可能性が高くなります。そのため、分散が従属変数の分散の程度を表すことがわかります。
- 分散が既知の場合、X の期待値からの偏差はε \varepsilon以上になります。εの確率推定式はσ \sigmaσ、範囲外になる確率は約 0.111 です。
4. 確率変数 X の分布が不明な場合、X の確率分布は X の期待値と分散を使用することによってのみ推定できます。
たとえば、クラスに生徒が 36 人いて、試験の平均点が 80 点、標準偏差が 10 点であるとすると、50 点未満（平均から標準偏差が 3 以上）の人の数は 4 人以下 (36*0.111) P { ∣ X − 80 ∣ ≥ 30 } ≤ 1 9 ≈ 0.111 P \左 \{ |X-80|\ge30\右 \}\le \frac{1}{9} \
約0.111P{
∣ X−8 0 ∣≥3 0 }≤91≈0 . 1 1 1
添付ファイル: 一般的な分布の期待分散
