フォーム
\ [\ sum_ {I 1 =} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \ GEQ \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ {2} b_i ^ 2 \]
等号成立的条件：
\ [IFF：b_i = 0 || \] \ K \で\ mathbb {R}、a_iを= K \ CDOT b_i（I \で\ mathbb {N ^ +を}）が存在します
証明します
同法I：引数のレシピ
思考：にプロパティを使用して、結合定数式アップ賢いです。
証明：
构造函数：
\ [F（T）= \ sum_ {i = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \ CDOT T ^ 2-2 \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_ib_it + \ sum_ {iは1 =} ^ {N} a_iを^ 2 \]
化简函数：
\ [F（T）= \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \ CDOT T ^ 2-2 \ sum_ {I = 1} ^ { N} a_ib_it + \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2 \]
\ [= \ sum_ {i = 1} ^ {N}（b_i ^ 2トン^ 2-2a_ib_it + a_iを^ 2）\]
\ [= \ sum_ {i = 1} ^ {N}（b_i ^ 2トン^ 2 + a_iを^ 2-2a_ib_it）\]
\ [= \ sum_ {i = 1} ^ {N}（b_it-a_iを）^ 2 \]
従って：
\ [F（T）\ GEQ 0 \]
\ [\デルタT = B ^ 2-4ac \]
\ [= 4 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はa_iを^ 2b_i ^ 2-4 \回\ sum_ ^ {n}はb_i ^ 2 \回\ sum_ {I = 1} ^ {N {iが= 1} } a_iを^ 2 \当量0 \]
所以：
\ [4 \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2b_i ^ 2 \当量4 \回\ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \回\ sum_ {iは1 =} ^ {N} a_iを^ 2 \]
\ [\はsum_ {I 1 =} ^ {n}はb_i ^ 2 \ GEQ \ sum_ {I = 1} ^ {n}はa_iを^ 2b_i ^ 2 ^ {n}はa_iを^ 2 \回\ sum_ {iが= 1} \]
QED。
理由：
[2 ^（b_it-a_iを）F（T）= \ sum_ {I = 1} ^ {N-} \] \
注文\（F（T）= 0 \） 、すなわち
\ [a_iを= b_it \]
この場合：
\ [F（T）_} =分{0 \]
すなわち：
\ [\デルタT \のLeq 0 \]
従って、好ましくは、等号は十分条件である：
\ [\ EXISTS K \で\ mathbb { R}、a_iを= K \ CDOT b_i（I \で\ mathbb {N ^ +}）\]
アクトII：平均不平等を証明します
アイデア：三角不等式と不等式平均の絶対値を用いて、分析を単純化するために、元の式を用いてを実証します。
平均式（証明は省略）を参照：\
[AB＆\のLeq \ FRAC {A ^ 2 + B ^ 2} {2} \]
条件：
\ [A、Bを\で\ mathbb {R＆LT ^ +} \]
条件の平等が成り立つ：
\ [IFF：A = B \]
証明：
要证：
\ [\ sum_ {I 1 =} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \ GEQ \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ {2 } b_i ^ 2 \]
开方得：
\ [\ SQRT {\ sum_ {I 1 =} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2} \ GEQ | \ sum_ { iは1} ^ {n}はa_ib_iを= | \]
只需证：
\ [| \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_ib_i | \当量\ SQRT {\ sum_ {iは{iは1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ = = 1} ^ {n}はb_i ^ 2} \]
\ [\ FRAC {| \ sum_ {I = 1} ^ {n}はa_ib_i |} {\ SQRT {\ sum_ {iは{iは1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ = = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}} \当量1 \]
由绝对值三角不等式：
\ [| A_1 + A_2 + A_3 + \ cdots + A_N | \当量| A_1 | + | A_2 | + | A_3 | + \ cdots + | A_N | \]
可得：
\ [| \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_ib_i | \当量\ sum_ ^ {n}が{iは1 =} | a_ib_i | \]
所以：
\ [\ FRAC {| \ sum_ {I = 1} ^ {n}はa_ib_i |} {\ SQRT {\ sum_ {iは{iは1 1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ ==} ^ {N} b_i ^ 2}} \当量\ FRAC {\ sum_ {i = 1} ^ {N} | a_ib_i |} {\ SQRT {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}} \]
又因为：
\ [\ FRAC {\ sum_ {iは1} ^ {N}を= | a_ib_i |} {\ SQRT {\ sum_ {I = 1} ^ { N} a_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}} \]
\ [= \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ FRAC {| a_iを|} {\ SQRT {\ sum_ {I = 1} ^ {n}はa_iを^ 2}} \ CDOT \ FRAC {| b_i |} {\ SQRT {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}} \]
：平均の不等式によって
\ [AB＆\のLeq \ FRAC {A ^ 2 + B ^ 2} {2} \]
を得ることができる
：{| a_iを|} {\ \ [\ sum_ {I = 1} ^ {N-} \ FRAC SQRT {\ sum_ {i = 1 } ^ {n}はa_iを^ 2}} \ CDOT \ FRAC {| b_i |} {\ SQRT {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}} \]
\ [\当量\ FRAC {1} {2} \ CDOT \ sum_ {i = 1} ^ {N}（\ FRAC {a_iを^ 2} {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2} + \ FRAC {b_i ^ 2} {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}）\]
\ [\当量\ FRAC {1} {2} \ CDOT（\ FRAC {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2} {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ 2} + \ FRAC {\ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2} {\ sum_ {i = 1} ^ {n}はb_i ^ 2}）\]
\ [\当量\ FRAC {1} {2} \回2 = 1 \]
即：
\ [\ FRAC {| \ sum_ {iは1} ^ {n}はa_ib_iを= |} {\ SQRT {\ sum_ {iは1} ^ {n}はa_iを^ 2 = \ sum_ {iは1} ^ {N = } b_i ^ 2}} \当量1 \]
\ [| \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_ib_i | \当量\ SQRT {\ sum_ {iは{iは1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ = = 1} ^ {n}はb_i ^ 2} \]
\ [\ SQRT {\ sum_ {iは{iは1} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ = = 1} ^ {n}はb_i ^ 2} \ GEQ | \ sum_ ^ {N} a_ib_i {iは1 =} | \]
\ [\ sum_ {I 1 =} ^ {n}はa_iを^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {n}はb_i ^ 2 \ GEQ \ sum_ {i = 1} ^ {n}はa_iを^ {2} b_i ^ 2 \]
QED。
行為III：n次元ベクトルの証明
なぜなら：
\ [| \ VEC A \ CDOT \ VEC B | \ \のLeq | \ VEC A | \ CDOT | | \ VEC B]
そう：
\ [| \ VEC A \ CDOT \ VEC B | ^ 2 \のLeq | \ VEC | ^ 2 \ CDOT | \ B VEC | ^ 2 \]
\（\ VEC、\ VEC B \）の（N- \）\次元ベクトル座標が証明フォームを展開したとき。
場合\（\ A VEC = K \ VEC B \） 、すなわち\（A \） 、（B \） \ ときに同一直線上、等式が成り立ちます。
肯定と感謝
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- おかげで@thornのレビューを。