制御理論における線形行列不等式 (LMI) の応用

(1) Matlab の LMI 処理ツールキット

(2) なぜ LMI は制御理論の分野で重要なツールになったのですか?

(3) LMI とリアプノフ不等式の関係

補題 2 (一般化された KYP 補題 [4])

系 1 (一般化された KYP 補題系 [4])

引理3（射影定理[1])

補題 4 (ジェンセンの不等式 [5,6]

補題 5 (フィンスラーの補題[7]):

参考文献

(1) Matlab の LMI 処理ツールキット

matlab には線形行列の不等式を解くためのツールキットYALMIPがあり、公式Web サイトからダウンロードしてインストールできます。yalmipのインストールチュートリアルを参照してください。yalmip はいくつかの基本的な LMI 解法のみを提供します。より複雑な不等式解法が必要な場合は、cplex ツールパッケージをインストールできます。yalmip ツールキットの使用方法については、yalmip コード作成チュートリアル、LMI ツールボックスチュートリアルおよびチュートリアルドキュメントを参照してください。モンスクのインスタレーション

(2) なぜ LMI は制御理論の分野で重要なツールになったのですか?

線形行列不等式 (LMI)テクノロジーは、特にロバスト制御の分野で制御システムを分析および合成するための重要なツールです。主な要因は次の 3 つです [1]:

古典的な制御方法の場合、LMI テクノロジーの利点は操作の簡単さです。LMI 技術が登場する前は、Ricaati 方程式を解くことで最適なコントローラーを設計していましたが、Ricaati 方程式を解くことは困難です。LMI テクノロジは、実用的なツールを開発するために少数の概念と基本原則のみを必要とします (現在、YALMIP ツールキットを使用して LMI の問題を簡単に解決できます)。
LMI テクノロジーは、ロバスト性解析、公称 H∞、H2 およびロバスト制御合成、多目的合成、線形パラメータ変動合成などの制御問題に関する幅広い視点を提供しますが、これらの中には古典的な制御領域では解決できないものもあります。
LMI テクノロジーは、凸最適化を利用する強力かつ効果的な数値ツールであり、理論システムに効果的なソフトウェアツールを追加します。

(3) LMI とリアプノフ不等式の関係

(1) 線形行列の不等式

次のような線形行列の不等式式を考えてみましょう [2]:

上の式において、 $x_1,....x_m$ は決定変数であり、特に上記の一般形式の関数は

実対称行列です。上の式の F(x)<0 は、行列 F(x) が負定値であること、つまりすべての非ゼロベクトルについて $v\epsilon R^m$ 、 $v^TF(x)v<0$ または F(x) の最大固有値が 0 未満であることを意味します。

多くのシステムおよび制御問題では、問題の変数はリアプノフ行列不等式などの行列の形式で表示されます。

このうち、行列は

適切な次元を持つ既知の定数行列であり、Q は既知の対称行列であり、

は対称行列変数です。の一連の基底を仮定する $E_1、E_2、....、E_M$ と $R^n$ 、任意の対称性について次のように

存在します。 $x_1、x_2、....、x_M$

したがって、次のとおりです。

この変換を通じて、線形行列不等式のより一般的な表現が得られます。

(2) 線形行列不等式系

複数の行列不等式があるとします。

全体の構成は線形行列不等式系と呼ばれます。が導入された場合 $F(x)=diag\left \{F_1(x),....F_k(x) \right \}$ 、それは、 $F_1(x)<0,...F_k(x)<0$ 次の場合にのみ同時に確立されます $F(x)<0$ 。したがって、線形行列不等式系は、単一の線形行列不等式によって表すこともできます。

(3) シュールサプリメント

非線形行列不等式を線形行列不等式に変換する多くの問題では、行列のシュール補数特性がよく使用されます。行列とブロック S を考えてみましょう。

それは次元的なもの $S_{11}$ です $r \times r$ 。 $S_{11}$ 非特異であると仮定すると、これは「 $S_{11}$ S のセハールの補数」と呼ばれます。次の補題は、行列のシュール補数特性を示します。

補助定理 1 Schur 補数特性

特定の対称行列の場合:

それは次元的なもの $S_{11}$ です $r \times r$ 。次の 3 つの条件は同等です。

（1） $S<0$

（2） $S_{11}<0,S_{22}-S{12}^TS_{11}^{-1}S_{12}<0$

（3） $S_{22}<0,S_{11}-S{12}S_{22}^{-1}S_{12}^T<0$

(証明方法については、Yu Li著「ロバスト制御 - 線形行列不等式処理法」の8ページを参照してください。)

一部の制御問題では、二次行列の不等式 [3] が頻繁に発生します。

ここで $A,B,Q=Q^T>0,R=R^T>0$ 、は適切な次元の指定された定数行列で、は $P$ 対称行列変数である場合、補助定理 1 を適用すると、上記の行列不等式の実現可能性の問題は、等価な行列不等式に変換できます。

実現可能性の問題、後者は行列変数 P に関する線形行列不等式です。

したがって、制御問題では、リアプノフ関数 V(t) を設計する必要があることがよくあります。システムの安定性を確保するために、この不等式を線形行列不等式の形式に $\dot{V}(t)<0$ 変換し $\dot{V}(t)<0$ 、 MATLAB の YALMIP を使用して直接解くことができます。 . .

(4) LMI における共通補題

補題 2 (一般化された KYP 補題 [4])

行列 $\シータ$ 、 $F$ 、 $\ファイ$ 、 $\プサイ$ 、が与えられた場合、はヌル空間 $N_w$ を表します。ここで、は不等式になります。 $T_wF$ $T_w=\left [ \begin{行列} I & -jwI \end{行列} \right ]$

$N^{*}_w\Theta N_w<0,w\epsilon \left [ \begin{行列} \varpi _1 & \varpi _2 \end{行列} \right$

$P$ は、対称行列が存在する場合にのみ成り立ちます $Q>0$ 。が成り立つ場合、ここで、

ここで * は行列の共役転置を表し、j は虚数単位であり、 $\ファイ\時々P$ 正しいクロネッカー積を表します。

$\Phi \otimes P= \left [ \begin{行列} 0 & P \\ P & 0 \end{行列} \right ]$

系 1 (一般化された KYP 補題系 [4])

線形システムの場合、 $G(jw)$ これは外乱からシステムの制御出力までの伝達関数です。その場合、指定された対称行列に対して $\Pi$ 、次の 2 つのステートメントは等価です。

1) 有限周波数領域の不平等

設立。

2) Q>0 を満たす対称行列 Р と Q が存在します。

確立されており、その中で

And は行列の右上ブロックと右下ブロックを表し、行列内の * は対応するブロックの転置を表します。 $\Pi$

引理3（射影定理[1])

特定の scalar について $\ガンマ、\ラムダ、\シータ$ 、行列は次の 2 つの条件が満たされる場合にのみ $F$ 満たされます。 $\ガンマ F\ラムダ +(\ガンマ F\ラムダ )^T+\シータ <0$

補助定理 3 (反射定理 [1]): $P$ は与えられた正定対称行列であり、この不等式は $\Psi +S+S^T<0$ 次の線形行列不等式 (LMI) の解問題と同等です。

式内の記号は、行列とその転置の和、つまりを $[W]_s$ 表すために使用されます。 $W$ $[W]_s=W+W^T$

補題 4 (ジェンセンの不等式 [5,6]

任意の正定対称定数行列について $M\epsilon R^{n \times n}$ 、スカラーは $r$ を満たし $r>0$ 、ベクトルが存在する場合 $w:[0,r]\rightarrow R^n$ 、次の不等式が成り立ちます。

補題 5 (フィンスラーの補題[7]):

$x\ε R^n$ 、 $p\epsilon S^n$ 、およびが $H\ε R^{m \times n}$ n 未満の H のランクを満たすとします (rank(H) = r <n)。その場合、次の 2 つの式は等価です。

参考文献

【1】Apkarian P、Tuan HD、Bernussou J. 連続時間解析、符号としての固有構造、および強化された線形行列不等式 (LMI) 特性を備えた H2 合成 [J]. 自動制御に関する IEEE トランザクション、2001、42(12) ）：1941–1946。

【2】「ロバスト制御理論と応用」Wang Juan、Zhang Tao、Xu Guokai

[3] 「ロバスト制御 - 線形行列不等式処理法」Yu Li

【4】Iwasaki T,Hara S.Generalized KYP Lemma:unifiedfrequencydomaininequal-ities with design application[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(1):41–59.

【5】Wu J、Chen X、Gao HH∞ フィルタリングと確率的サンプリング[J]。Signal Proces-siong、2010、90(4):1131–1145。

【6】Gao H、Wu J、Shi P. 確率的サンプリングを使用した堅牢なサンプルデータ H∞ 制御 [J].Automatica、2009、45(7):1729–1736。

【7】Qiu J、Feng G、Yang J. 時変遅延を伴う離散時間スイッチングポリトピック線形システムに対する堅牢なエネルギー対ピークフィルタリングに関する新しい結果[J]。IET Control Theory and Applications、2008、2(9): 795 ～ 806 年。